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正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且$$2 b \operatorname{c o s} A+a=2 c， \ a+c=8$$，则其周长为（）
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{8}{+}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$内角$$A， B， C$$的对边分别是$$a， b， c$$，已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为$$3 \sqrt{1 5}， \; \; b-c=2， \; \; \operatorname{c o s} A=-\frac{1} {4}$$，则$${{a}}$$的值为
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
3、['直线的截距式方程'， '三角形的面积（公式）'， '直线的一般式方程及应用']正确率80.0%直线$${{l}}$$：$$x-y-2=0$$与两坐标轴围成的三角形的面积是$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知面积为$${{3}}$$的$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$．若$$b=\frac{a+c} {2}， \， \， \， B=3 0^{\circ}$$，则$${{b}{=}{（}}$$）
A
A.$$\sqrt6+\sqrt2$$
B.$$\sqrt3+1$$
C.$$2 \ ( \sqrt{3}+1 )$$
D.$$\sqrt3+2$$
5、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知$${a， b， c}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的三边，其面积为$$\frac1 4 \left( a^{2} \!+\! b^{2} \!-\! c^{2} \right) \，，$$则角$${{C}{=}{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$C_{1} : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$与双曲线$$C_{2} : x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的离心率相同，双曲线$${{C}_{1}}$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ M$$是双曲线$${{C}_{1}}$$的一条渐近线上的点，且$$O M \perp M F_{2}$$，若$${{△}{O}{M}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{2}{\sqrt {2}}}$$，则双曲线$${{C}_{1}}$$的实轴长是（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
7、['三角形的面积（公式）'， '斜二测画法']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
8、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$的对边$$a， ~ b， ~ c$$满足$$b^{2}+c^{2}=a^{2}+b c$$，且$${{b}{c}{=}{8}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于（）
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$A=\frac{\pi} {3}， \， \， \， a=\sqrt{7}， \， \， \， c=3 b$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$
B.$$\frac{2-\sqrt{3}} {4}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{2+\sqrt{3}} {4}$$
10、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$$B C=2， \， \， \， B={\frac{\pi} {3}}$$，若三角形的面积为$$\frac{\sqrt3} {2}$$，则$${{t}{a}{n}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
1. 已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且$$2 b \cos A + a = 2 c, \ a + c = 8$$，则其周长为（）。
解析：
1. 由余弦定理和正弦定理，先利用面积公式：$$\frac{1}{2} b c \sin A = 4 \sqrt{3}$$
2. 由$$2 b \cos A + a = 2 c$$，结合正弦定理得：$$2 \sin B \cos A + \sin A = 2 \sin C$$
3. 利用$$A + B + C = \pi$$，化简得：$$\sin A = 2 \sin (C - B)$$
4. 结合$$a + c = 8$$，解得：$$a = 4, \ b = 4, \ c = 4$$
5. 周长为：$$a + b + c = 12$$
答案：B
2. 已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$内角$$A, B, C$$的对边分别是$$a, b, c$$，已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为$$3 \sqrt{15}, \; \; b - c = 2, \; \; \cos A = -\frac{1}{4}$$，则$${{a}}$$的值为。
解析：
1. 由面积公式：$$\frac{1}{2} b c \sin A = 3 \sqrt{15}$$
2. 由$$\cos A = -\frac{1}{4}$$，得$$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$$
3. 代入得：$$b c = 24$$
4. 结合$$b - c = 2$$，解得：$$b = 6, \ c = 4$$
5. 由余弦定理：$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A = 36 + 16 - 2 \times 24 \times (-\frac{1}{4}) = 64$$
6. 故$$a = 8$$
答案：C
3. 直线$${{l}}$$：$$x - y - 2 = 0$$与两坐标轴围成的三角形的面积是$${{(}{)}}$$。
解析：
1. 求x轴截距：令$$y = 0$$，得$$x = 2$$
2. 求y轴截距：令$$x = 0$$，得$$y = -2$$
3. 面积为：$$\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$$
答案：D
4. 已知面积为$${{3}}$$的$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A, ~ B, ~ C$$所对的边分别为$$a, ~ b, ~ c$$．若$$b = \frac{a + c}{2}, \, \, \, B = 30^{\circ}$$，则$${{b}{=}{（}}$$）。
解析：
1. 由面积公式：$$\frac{1}{2} a c \sin B = 3$$，得$$a c = 12$$
2. 由$$b = \frac{a + c}{2}$$，得$$a + c = 2 b$$
3. 由余弦定理：$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B$$
4. 代入得：$$b^2 = (a + c)^2 - 2 a c - \sqrt{3} a c = 4 b^2 - 24 - 12 \sqrt{3}$$
5. 解得：$$b = \sqrt{3} + 1$$
答案：B
5. 已知$${a, b, c}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的三边，其面积为$$\frac{1}{4} \left( a^{2} + b^{2} - c^{2} \right) \,,$$则角$${{C}{=}{(}{)}}$$。
解析：
1. 由面积公式：$$\frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{4} (a^2 + b^2 - c^2)$$
2. 由余弦定理：$$a^2 + b^2 - c^2 = 2 a b \cos C$$
3. 代入得：$$\frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{4} \times 2 a b \cos C$$
4. 化简得：$$\tan C = 1$$，故$$C = \frac{\pi}{4}$$
答案：C
6. 已知双曲线$$C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ( a > b > 0 )$$与双曲线$$C_{2} : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$的离心率相同，双曲线$${{C}_{1}}$$的左、右焦点分别为$$F_{1}, ~ F_{2}, ~ M$$是双曲线$${{C}_{1}}$$的一条渐近线上的点，且$$O M \perp M F_{2}$$，若$${{△}{O}{M}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{2}{\sqrt {2}}}$$，则双曲线$${{C}_{1}}$$的实轴长是（）。
解析：
1. 由$$C_2$$的离心率：$$e = \sqrt{1 + \frac{2}{1}} = \sqrt{3}$$
2. 设$$C_1$$的离心率相同，故$$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{3}$$，得$$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$
3. 由$$O M \perp M F_2$$，利用向量法解得$$M$$的坐标
4. 由面积条件得：$$a b = 2 \sqrt{2}$$
5. 结合$$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$，解得$$a = 2$$，实轴长为$$4$$
答案：A
7. svg异常。
解析：
题目不完整，无法解析。
8. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$的对边$$a, ~ b, ~ c$$满足$$b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$$，且$${{b}{c}{=}{8}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于（）。
解析：
1. 由余弦定理：$$b^2 + c^2 - a^2 = 2 b c \cos A$$
2. 结合条件得：$$2 b c \cos A = b c$$，故$$\cos A = \frac{1}{2}$$，$$A = \frac{\pi}{3}$$
3. 面积为：$$\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$$
答案：A
9. $${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A, ~ B, ~ C$$的对边分别为$$a, ~ b, ~ c$$，若$$A = \frac{\pi}{3}, \, \, \, a = \sqrt{7}, \, \, \, c = 3 b$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$。
解析：
1. 由余弦定理：$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A$$
2. 代入得：$$7 = b^2 + 9 b^2 - 3 b^2 = 7 b^2$$，故$$b = 1$$，$$c = 3$$
3. 面积为：$$\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$$
答案：A
10. 三角形$${{A}{B}{C}}$$中，$$B C = 2, \, \, \, B = \frac{\pi}{3}$$，若三角形的面积为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，则$${{t}{a}{n}{C}}$$为$${{(}{)}}$$。
解析：
1. 由面积公式：$$\frac{1}{2} a c \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得$$c = 1$$
2. 由余弦定理：$$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B = 4 + 1 - 2 \times 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 3$$
3. 由正弦定理：$$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$，得$$\sin C = \frac{1}{2}$$
4. 故$$\tan C = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
答案：C