三角形的面积（公式）-平面向量的拓展与综合知识点考前进阶选择题自测题解析-甘肃省等高二数学必修,平均正确率46.0%

1、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是钝角三角形，若$$A C=1， ~ ~ B C=2$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$则$$A B=( \qquad)$$．

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${\sqrt {7}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{3}}$$

2、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$b \mathrm{c o s} A=( 2 c-a ) \mathrm{c o s} B$$，若$$S_{\Delta A B C}=\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$且$$2 \mathrm{s i n} A=3 \mathrm{s i n} C$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长等于（）

A.$${{5}{+}{\sqrt {7}}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{0}{+}{\sqrt {7}}}$$

D.$${{5}{+}{2}{\sqrt {7}}}$$

3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值'， '余弦（型）函数的周期性']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A. ~ B. ~ C$$对的边分别为$$a， \， \， \， b， \， \， \， c， \， \， \， \operatorname{s i n} A+\sqrt{2} \operatorname{s i n} B=2 \operatorname{s i n} C， \， \， \， b=3$$，当内角$${{C}}$$最大时，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于（）

A.$$\frac{9+3 \sqrt{3}} {4}$$

B.$$\frac{6+3 \sqrt{2}} {4}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{2 \sqrt{6}-\sqrt{2}}} {4}$$

D.$$\frac{3 \sqrt6-3 \sqrt2} {4}$$

4、['同角三角函数的商数关系'， '三角形的面积（公式）'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三内角$$A， \ B， \ c$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$$S=\frac{\sqrt{3}} {2} b c \operatorname{c o s} A$$，则角$${{A}{=}{(}{)}}$$

A.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{4}{5}^{∘}}$$

D.$${{3}{0}^{∘}}$$

5、['三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%已知三角形两边之差为$${{2}}$$，它们夹角的余弦值为$$\frac{3} {5}$$，面积为$${{1}{4}}$$，则这个三角形的这两边长分别是（）

A.$${{3}}$$和$${{5}}$$

B.$${{4}}$$和$${{6}}$$

C.$${{6}}$$和$${{8}}$$

D.$${{5}}$$和$${{7}}$$

6、['三角形的面积（公式）'， '向量的线性运算']

正确率60.0%已知点$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的一点，且满足$$5 \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$$，则$${{△}{A}{M}{B}}$$与$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积比为（）

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{7} {5}$$

D.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$

7、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%已知$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$的中点，$${{M}}$$在$${{D}{C}}$$上满足$$5 \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{A C}$$，则$${{△}{A}{B}{M}}$$与$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积比为（）

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{3} {5}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

8、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{2 a-c} {b}=\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{c o s} B}， ~ b=4，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

9、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%连接双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$与$$\frac{y^{2}} {b^{2}}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1$$的四个顶点构成的四边形的面积为$${{S}_{1}}$$，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为$${{S}_{2}}$$，则$${{S}_{1}{：}{{S}_{2}}}$$的最大值是（）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

10、['双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$$F ( c， 0 )$$，直线$$x=\frac{a^{2}} {c}$$与一条渐近线交于点$$P， \， \， \triangle P O F$$的面积为$${{a}^{2}{(}{O}}$$为原点$${{)}}$$，则抛物线$$y^{2}=\frac{2 b} {a} x$$的准线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$y=\frac{1} {2}$$

B.$${{x}{=}{1}}$$

C.$${{x}{=}{−}{1}}$$

D.$${{x}{=}{\sqrt {2}}}$$

1. 解析：

已知三角形$$△ABC$$是钝角三角形，$$AC=1$$，$$BC=2$$，面积为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。首先利用面积公式： $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin C \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin C \Rightarrow \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 因此，角$$C$$可能为$$60^\circ$$或$$120^\circ$$。由于三角形是钝角三角形，角$$C=120^\circ$$。接着利用余弦定理求$$AB$$： $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos C = 1 + 4 - 2 \times 1 \times 2 \times \cos 120^\circ = 5 + 2 = 7$$ 所以$$AB = \sqrt{7}$$，答案为$$B$$。

2. 解析：

由题意得： $$b \cos A = (2c - a) \cos B$$ 利用正弦定理，将边化为角： $$\sin B \cos A = (2 \sin C - \sin A) \cos B$$ 化简得： $$\sin B \cos A + \sin A \cos B = 2 \sin C \cos B \Rightarrow \sin(A+B) = 2 \sin C \cos B$$ 因为$$A+B+C=180^\circ$$，所以$$\sin(A+B)=\sin C$$，代入得： $$\sin C = 2 \sin C \cos B \Rightarrow \cos B = \frac{1}{2} \Rightarrow B=60^\circ$$ 又$$2 \sin A = 3 \sin C$$，设$$a=3k$$，$$c=2k$$，利用余弦定理： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 9k^2 + 4k^2 - 6k^2 = 7k^2 \Rightarrow b = \sqrt{7}k$$ 面积为： $$\frac{1}{2} \times a \times c \times \sin B = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \times 3k \times 2k \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow k=1$$ 因此周长为： $$a + b + c = 3 + \sqrt{7} + 2 = 5 + \sqrt{7}$$，答案为$$A$$。

3. 解析：

由$$\sin A + \sqrt{2} \sin B = 2 \sin C$$，利用正弦定理： $$a + \sqrt{2}b = 2c$$ 已知$$b=3$$，代入得： $$a + 3\sqrt{2} = 2c \Rightarrow c = \frac{a + 3\sqrt{2}}{2}$$ 利用余弦定理求角$$C$$： $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a^2 + 9 - \left(\frac{a + 3\sqrt{2}}{2}\right)^2}{6a}$$ 化简后求极值，可得当$$a = 3\sqrt{2} - 3$$时，角$$C$$最大。此时面积为： $$S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C = \frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{4}$$，答案为$$D$$。

4. 解析：

已知面积为： $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} b c \cos A$$ 又面积为： $$S = \frac{1}{2} b c \sin A$$ 联立得： $$\frac{\sqrt{3}}{2} b c \cos A = \frac{1}{2} b c \sin A \Rightarrow \sqrt{3} \cos A = \sin A \Rightarrow \tan A = \sqrt{3} \Rightarrow A = 60^\circ$$ 答案为$$B$$。

5. 解析：

设两边为$$x$$和$$x+2$$，夹角余弦为$$\frac{3}{5}$$，则正弦为$$\frac{4}{5}$$。面积为： $$\frac{1}{2} \times x \times (x+2) \times \frac{4}{5} = 14 \Rightarrow x(x+2) = 35 \Rightarrow x=5$$ 因此两边为$$5$$和$$7$$，答案为$$D$$。

6. 解析：

由向量关系$$5 \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AC}$$，可得点$$M$$将$$BC$$分为$$2:3$$。因此$$△AMB$$与$$△ABC$$的面积比为$$\frac{2}{5}$$，答案为$$B$$。

7. 解析：

由向量关系$$5 \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}$$，可得点$$M$$将$$DC$$分为$$3:2$$。因此$$△ABM$$与$$△ABC$$的面积比为$$\frac{3}{5}$$，答案为$$C$$。

8. 解析：

由正弦定理和余弦定理化简条件： $$\frac{2a - c}{b} = \frac{\cos C}{\cos B} \Rightarrow 2a \cos B - c \cos B = b \cos C$$ 利用投影公式： $$2a \cos B = c \cos B + b \cos C = a$$ 因此$$\cos B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = 60^\circ$$。面积为： $$S = \frac{1}{2} \times a \times c \times \sin B$$ 利用$$b=4$$和余弦定理，可得面积最大值为$$4 \sqrt{3}$$，答案为$$A$$。

9. 解析：

双曲线的顶点坐标为$$(\pm a, 0)$$和$$(0, \pm b)$$，面积为$$S_1 = 2ab$$。焦点坐标为$$(\pm c, 0)$$和$$(0, \pm c)$$，面积为$$S_2 = 2c^2$$。由于$$c^2 = a^2 + b^2$$，比值为： $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2ab}{2(a^2 + b^2)} \leq \frac{1}{2}$$ 当$$a=b$$时取最大值$$\frac{1}{2}$$，答案为$$C$$。

10. 解析：

双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，点$$P$$坐标为$$\left(\frac{a^2}{c}, \frac{ab}{c}\right)$$。三角形$$POF$$的面积为： $$\frac{1}{2} \times c \times \frac{ab}{c} = \frac{ab}{2} = a^2 \Rightarrow b = 2a$$ 抛物线方程为$$y^2 = \frac{2b}{a}x = 4x$$，准线为$$x = -1$$，答案为$$C$$。

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