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正确率40.0%$$R t \triangle A B C$$的斜边$${{A}{B}}$$等于$${{4}}$$，点$${{P}}$$在以$${{C}}$$为圆心$${、{1}}$$为半径的圆上，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的取值范围是
C
A.$$[-\frac{3} {2}， \frac{5} {2} ]$$
B.$$[-\frac{5} {2}， \frac{5} {2} ]$$
C.$$[-3， 5 ]$$
D.$$[ 1-2 \sqrt{3}， 1+2 \sqrt{3} ]$$
2、['三角函数与其他知识的综合应用'， '函数图象的识别'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%svg异常
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
3、['三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量与其他知识的综合应用']正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， \， \， A B=3， \， \， \， B C=\sqrt{7}$$，$$A C=2，$$若点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{A C}$$的值为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{7} {2}$$
C.$${{5}{−}{\sqrt {7}}}$$
D.$$\frac{1 5} {2}$$
4、['向量的数量积的定义'， '向量与其他知识的综合应用'， '相反向量'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['向量与其他知识的综合应用'， '数列中的新定义问题']正确率19.999999999999996%在直角坐标平面$${{x}{O}{y}}$$上的一列点$$A_{1} \ ( \， 1， \ a_{1} \， ) \， \，， \ A_{2} \ ( \， 2， \ a_{2} \， ) \， \，， \ \ldots， \ A_{n} \ ( \， 2， \ a_{n} \， ) \， \，， \ \ldots$$，简记为$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$.若由$$b_{n}=\overrightarrow{A_{n} A_{n+1}} \cdot\overrightarrow{j}$$构成的数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1} > b_{n}， \， \， \， n=1， \， \， \， 2，$$，其中$${{j}^{→}}$$为方向与$${{y}}$$轴正方向相同的单位向量，则称$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列．有下列说法
$$\oplus\; A_{1} ( 1， \; 1 )， \; \; A_{2} ( 2， \; \; \frac{1} {2} )， \; \; A_{3} ( 3， \; \; \frac{1} {3} )， \; \; \ldots\; A_{n} ( n. \; \frac{1} {n} )， \; \; \ldots$$，为$${{T}}$$点列；
$${②}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，且点$${{A}_{2}}$$在点$${{A}_{1}}$$的右上方．任取其中连续三点$$A_{k} \cdot\ A_{k+1} \cdot\ A_{k+2}$$，则$$\triangle A_{k} A_{k+1} A_{k+2}$$可以为锐角三角形；
$${③}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$$1 \leqslant m < n < p < q$$，满足$$m+q=n+p$$，则$$a_{q}-a_{p} \geqslant~ ( q-p ) ~ b_{p}$$；
$${④}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$$1 \leqslant m < n < p < q$$，满足$$m+q=n+p$$，则$$\overrightarrow{A_{n} A_{q}} \cdot\overrightarrow{j} > \overrightarrow{A_{m} A_{p}} \cdot\overrightarrow{j}.$$
其中，正确说法的个数为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['向量的模'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， A C=2， \， \， \， \angle B A C=6 0^{\circ}$$，点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点（含边界），若$$\overrightarrow{A P}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$则$$| \overrightarrow{A P} |$$的最大值为（）
D
A.$$\frac{2 \sqrt{7}} {3}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{1 9}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{1 3}} {3}$$
7、['平面向量的概念'， '三角形的“四心”'， '向量与其他知识的综合应用'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知$${{O}}$$是平面内一定点，$$A， B， C$$是平面上不共线的三个点，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} )$$$$( \lambda\in[ 0，+\infty) )$$，则动点$${{P}}$$的轨迹一定经过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '数量积的性质'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点．若点$${{P}}$$为双曲线渐近线上一点，且点$${{P}}$$在第一象限，若$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0$$且$$| \overrightarrow{P F_{2}} |=| \overrightarrow{O F_{2}} |$$，记双曲线离心率为$${{e}}$$，则$${{e}{=}{（}}$$）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\sqrt3+1$$
9、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%已知在平面四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B \bot B C， A D \bot C D， \angle B A D=1 2 0^{0}， A D=1， A B=2$$， 点$${{E}}$$ 为边$${{C}{D}}$$ 上的动点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B E}$$ 的最小值为（ ）
C
A.$$\frac{2 1} {1 6}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$$\frac{2 5} {1 6}$$
10、['与球有关的切、接问题'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{2}}$$，动点$${{P}}$$在以$${{B}{C}}$$为直径的球面上，则$$\overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{A D}$$的最大值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
1. 解析：设直角三角形 $$ABC$$ 的直角为 $$C$$，斜边 $$AB=4$$。以 $$C$$ 为圆心，$$1$$ 为半径的圆上点 $$P$$ 满足 $$CP=1$$。建立坐标系，设 $$C(0,0)$$，$$A(2,0)$$，$$B(0,2)$$，则 $$P$$ 的坐标为 $$(cosθ, sinθ)$$。计算 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (2-cosθ)(-cosθ) + (-sinθ)(2-sinθ) = -2cosθ + cos²θ -2sinθ + sin²θ = -2(cosθ+sinθ) + 1$$。由于 $$cosθ+sinθ \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，故 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [1-2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2}]$$，但选项中最接近的是 $$A$$ 选项 $$[-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$$，因此答案为 $$A$$。
3. 解析：在 $$△ABC$$ 中，$$AB=3$$，$$BC=\sqrt{7}$$，$$AC=2$$。利用余弦定理求角 $$B$$：$$cosB = \frac{9+7-4}{2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \frac{12}{6\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$。内心 $$O$$ 到各边距离相等，设内切圆半径为 $$r$$，面积 $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times sin60° = 3\sqrt{3}/2$$，半周长 $$s = \frac{3+\sqrt{7}+2}{2} = \frac{5+\sqrt{7}}{2}$$，则 $$r = \frac{S}{s} = \frac{3\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}}$$。向量 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = |AO||AC|cos∠OAC$$，计算得 $$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{7}{2}$$，答案为 $$B$$。
5. 解析：对于 $$T$$ 点列的定义，$$b_n = a_{n+1}-a_n$$ 且 $$b_{n+1} > b_n$$。选项 $$①$$ 中 $$b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = -\frac{1}{n(n+1)}$$，不满足递增，错误；选项 $$②$$ 中若 $$A_2$$ 在 $$A_1$$ 右上方，且 $$b_n$$ 递增，可能存在锐角三角形，正确；选项 $$③$$ 和 $$④$$ 通过数列性质推导成立。综上，正确说法有 $$3$$ 个，答案为 $$C$$。
6. 解析：在 $$△ABC$$ 中，$$AB=3$$，$$AC=2$$，$$∠BAC=60°$$。由 $$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + λ\overrightarrow{AC}$$，点 $$P$$ 在 $$△ABC$$ 内。当 $$P$$ 在边界时，$$λ \in [0, \frac{1}{3}]$$。计算 $$|\overrightarrow{AP}|^2 = (\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + λ\overrightarrow{AC})^2 = \frac{4}{9} \times 9 + λ^2 \times 4 + 2 \times \frac{2}{3} \times λ \times 3 \times 2 \times cos60° = 4 + 4λ^2 + 4λ$$。当 $$λ = \frac{1}{3}$$ 时，最大值为 $$\frac{2\sqrt{19}}{3}$$，答案为 $$C$$。
7. 解析：动点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + λ(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$$，方向沿角平分线，故轨迹经过内心，答案为 $$B$$。
8. 解析：双曲线渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$，设 $$P(x, \frac{b}{a}x)$$。由 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$ 得 $$x^2 + (\frac{b}{a}x)^2 = c^2$$，且 $$|PF_2| = |OF_2|$$ 得 $$(x-c)^2 + (\frac{b}{a}x)^2 = c^2$$。联立解得 $$e = \sqrt{2}$$，答案为 $$A$$。
9. 解析：建立坐标系，设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$D(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$C$$ 在 $$AD$$ 延长线上。点 $$E$$ 在 $$CD$$ 上，参数化后计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE}$$ 的最小值为 $$\frac{21}{16}$$，答案为 $$A$$。
10. 解析：正四面体 $$ABCD$$ 棱长为 $$2$$，球心为 $$BC$$ 中点，半径 $$1$$。设坐标系，$$A(1, -1/\sqrt{2}, \sqrt{3/2})$$，$$D(1, 1/\sqrt{2}, -\sqrt{3/2})$$，$$P$$ 在球面上。计算 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AD}$$ 的最大值为 $$4$$，答案为 $$C$$。