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正确率60.0%已知点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的点，给出下列四个等式：
甲：$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}={\bf0}$$；
乙：$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P A}-\overrightarrow{P B} )=\overrightarrow{P C} \cdot( \overrightarrow{P A}-\overrightarrow{P B} )$$；
丙：$$| \overrightarrow{P A} |=| \overrightarrow{P B} |=| \overrightarrow{P C} |$$；
丁：$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P A}$$．
若甲、乙、丙、丁中只有一个等式不成立，则该等式为（）
B
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
2、['三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知点$${{G}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，满足$$\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$$，则$${{G}}$$点是三角形$${{A}{B}{C}}$$的（）
D
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
3、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”']正确率40.0%三角形$${{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P A}$$，那么点$${{P}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
4、['三角形的“四心”'， '向量的夹角']正确率60.0%设$$| \vec{\mathrm{a}} |=\bf{3}， | \vec{\mathrm{b}} |=6，$$若$${{a}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}{{=}{9}}{，}}$$则$${{⟨}{{a}{⃗}{，}{{{b}^{⃗}}{⟩}}}}$$等于（）
B
A.$${{9}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{6}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$
D.$${{4}{5}{^{∘}}}$$
5、['空间中直线与直线的位置关系'， '三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率60.0%已知点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面外一点，点$${{O}}$$是点$${{P}}$$在平面$${{A}{B}{C}}$$上的射影，在下列条件下：$${{P}}$$到$${{△}{A}{B}{C}}$$三个顶点距离相等；$${{P}}$$到$${{△}{A}{B}{C}}$$三边距离相等；$${{A}{P}{、}{B}{P}{、}{C}{P}}$$两两互相垂直，点$${{O}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.垂心，外心，内心
B.外心，内心，垂心
C.内心，外心，垂心
D.内心，垂心，外心
6、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '向量的线性运算']正确率40.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中$${{∠}{A}{=}{{3}{0}^{∘}}{B}{C}{=}{1}{，}{O}}$$为三边中垂线的交点。且$$3 \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O B}+5 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$. 则$${{Δ}{A}{O}{C}}$$ 的面积为 $${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
7、['平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{B O}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}，$$则$${{λ}{−}{2}{μ}{=}}$$（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
8、['余弦定理及其应用'， '平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的圆心，若$${\sqrt {2}{a}{{c}{o}{s}}{B}{=}{\sqrt {2}}{c}{−}{b}{，}}$$且$$\frac{\operatorname{c o s} B} {\operatorname{s i n} C} \overrightarrow{A B}+\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{s i n} B} \overrightarrow{A C}=m \overrightarrow{A O}，$$则$${{m}}$$的值是（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '三角形的“四心”']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {8}=1$$的焦点为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}{，}{P}}$$为椭圆上任意一点，$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心为$${{I}}$$，过$${{I}}$$作平行于$${{x}}$$轴的直线交$${{P}{{F}_{1}}{、}{P}{{F}_{2}}}$$于$${{A}{、}{B}}$$，则$$\frac{S_{\Delta P A B}} {S_{\Delta P F_{1} F_{2}}}=\langle$$）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{9} {2 5}$$
D.$$\frac{9} {1 6}$$
10、['椭圆的定义'， '三角形的“四心”'， '椭圆的其他性质'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{1}{<}{m}{<}{4}{，}{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$为曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {4-m}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$为曲线$${{C}}$$与曲线$$E_{:} \， \， x^{2}-\frac{y^{2}} {m-1}=1$$在第一象限的交点，直线$${{l}}$$为$${{C}}$$在点$${{P}}$$处的切线，若三角形$${{F}_{1}{P}{{F}_{2}}}$$的内心为点$${{M}}$$，直线$${{F}_{1}{M}}$$与直线$${{l}}$$交于$${{N}}$$点，则$${{M}{，}{N}}$$横坐标之差为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.随$${{m}}$$的变化而变化
1. 题目要求四个等式中只有一个不成立。首先分析各等式：
甲：$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \mathbf{0}$$，表示点$$P$$是$$△ABC$$的重心。
乙：$$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}) = \overrightarrow{PC} \cdot (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB})$$，化简得$$\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PB}$$，进一步整理为$$|\overrightarrow{PA}|^2 - \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PB}$$。若$$P$$是外心，则$$|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}|$$，等式成立。
丙：$$|\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}|$$，表示$$P$$是外心。
丁：$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$$，表示$$P$$是垂心。
由于只有一个等式不成立，而重心、外心、垂心一般不重合，因此不成立的等式是甲。答案为$$A$$。
2. 题目给出$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \mathbf{0}$$，这是重心的定义。答案为$$D$$。
3. 题目给出$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$$，表示$$P$$是垂心。答案为$$B$$。
4. 题目给出$$|\vec{a}| = 3$$，$$|\vec{b}| = 6$$，$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 9$$。根据点积公式$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$，代入得$$9 = 3 \times 6 \cos \theta$$，解得$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，因此$$\theta = 60^\circ$$。答案为$$B$$。
5. 题目描述点$$P$$在平面$$ABC$$上的射影$$O$$的性质：
若$$P$$到三个顶点距离相等，则$$O$$是外心；
若$$P$$到三边距离相等，则$$O$$是内心；
若$$AP$$、$$BP$$、$$CP$$两两垂直，则$$O$$是垂心。答案为$$B$$。
6. 题目给出$$3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB} + 5 \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}$$，且$$O$$是中垂线交点（外心）。利用坐标系法，设$$O$$为原点，$$A$$、$$B$$、$$C$$在单位圆上，通过向量关系解得$$△AOC$$的面积为$$\frac{2}{5}$$。答案为$$D$$。
7. 题目给出$$O$$为重心，$$\overrightarrow{BO} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$$。重心性质$$\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BM}$$，其中$$M$$为$$AC$$中点，因此$$\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3} \left( \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \right) = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$。比较得$$\lambda = -\frac{2}{3}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，故$$\lambda - 2\mu = -\frac{4}{3}$$。答案为$$D$$。
8. 题目给出$$\sqrt{2} a \cos B = \sqrt{2} c - b$$，利用正弦定理化简得$$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，即$$B = 45^\circ$$。进一步利用向量关系解得$$m = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。答案为$$B$$。
9. 题目给出椭圆$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{8} = 1$$，焦点为$$F_1$$、$$F_2$$。利用内心性质和相似三角形，面积比为$$\left( \frac{r}{R} \right)^2$$，其中$$r$$为内切圆半径，$$R$$为椭圆半长轴。计算得$$\frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta PF_1F_2}} = \frac{9}{25}$$。答案为$$C$$。
10. 题目给出曲线$$C$$和$$E$$的交点$$P$$，切线$$l$$，内心$$M$$。通过几何分析得$$M$$和$$N$$的横坐标之差为$$-2$$。答案为$$B$$。