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正确率60.0%四棱锥$$P-A B C D$$中，底面$${{A}{B}{C}{D}}$$为平行四边形，$${{Q}}$$为$${{A}{D}}$$的中点，点$${{M}}$$在棱$${{P}{C}}$$上，$$P M=t P C， \， \， \， P A / /$$平面$${{M}{Q}{B}{，}}$$则实数$${{t}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['空间向量基本定理的应用'， '三角形的“四心”'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知空间四面体$${{O}{A}{B}{C}}$$中$${，{{G}_{1}}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心$${，{G}}$$是$${{O}{{G}_{1}}}$$上一点，且$$O G=3 G G_{1}，$$若$$\overrightarrow{O G}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}，$$则$$x， ~ y， ~ z$$的值分别为（）
A
A.$$\frac1 4， ~ \frac1 4， ~ \frac1 4$$
B.$$\frac{3} {4}， ~ \frac{3} {4}， ~ \frac{3} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}， ~ \frac{1} {3}， ~ \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{2} {3}， ~ \frac{2} {3}， ~ \frac{2} {3}$$
3、['数量积的性质'， '三角形的“四心”'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$$3 \overrightarrow{O A}+5 \overrightarrow{O B}+7 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O}$$，则$${{∠}{A}{C}{B}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$或$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
4、['椭圆的离心率'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{Q}}$$为椭圆上一点．$${{△}{Q}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的重心为$${{G}}$$，内心为$${{I}}$$，且$$\overrightarrow{G I}=\lambda\overrightarrow{F_{1} F_{2}}，$$则该椭圆的离心率为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
5、['三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%设点$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{A G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$则实数$${{λ}{=}{（}}$$）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['三角形的“四心”'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{F}}$$为抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点，过$${{F}}$$作直线$${{l}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$$| A B |=1 0$$，则$${{△}{O}{A}{B}}$$重心的横坐标为（）
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{3}}$$
8、['平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{B O}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}，$$则$$\lambda-2 \mu=$$（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
9、['三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的判定定理'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%设$${{P}}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$所在平面$${{α}}$$外一点，且$${{P}}$$到$$A B_{\cdot} ~ B C_{\cdot} ~ C A$$的距离相等，$${{P}}$$在$${{α}}$$内的射影$${{P}{^{′}}}$$在$${{△}{{A}{B}{C}}}$$内部，则$${{P}{^{′}}}$$为$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的（）
C
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
10、['三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%设$${{P}{H}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}}$$且$$P A， ~ P B， ~ P C$$均相等，则$${{H}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
1. 解析：
设四棱锥 $$P-ABCD$$ 的底面为平行四边形 $$ABCD$$，$$Q$$ 为 $$AD$$ 的中点。点 $$M$$ 在棱 $$PC$$ 上，满足 $$PM = t PC$$。题目要求 $$PA \parallel$$ 平面 $$MQB$$。
步骤：
1. 连接 $$AC$$ 交 $$BQ$$ 于点 $$E$$，因为 $$ABCD$$ 是平行四边形，$$Q$$ 是 $$AD$$ 的中点，所以 $$E$$ 是 $$AC$$ 的三等分点（靠近 $$A$$）。
2. 因为 $$PA \parallel$$ 平面 $$MQB$$，所以 $$PA$$ 平行于平面 $$MQB$$ 内的某条直线。设 $$PA \parallel ME$$。
3. 在 $$\triangle PAC$$ 中，$$ME \parallel PA$$，由相似三角形可得 $$\frac{PM}{PC} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$$。
因此，$$t = \frac{1}{3}$$，选 C。
2. 解析：
已知 $$G_1$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的重心，$$G$$ 在 $$OG_1$$ 上且 $$OG = 3 GG_1$$。求 $$\overrightarrow{OG}$$ 的表达式。
步骤：
1. 重心 $$G_1$$ 的向量表达式为 $$\overrightarrow{OG_1} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。
2. 因为 $$OG = 3 GG_1$$，所以 $$G$$ 分 $$OG_1$$ 为 $$OG : GG_1 = 3 : 1$$，即 $$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{OG_1}$$。
3. 代入 $$\overrightarrow{OG_1}$$ 得 $$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。
因此，$$x = y = z = \frac{1}{4}$$，选 A。
3. 解析：
已知 $$O$$ 为 $$\triangle ABC$$ 的外心，且 $$3 \overrightarrow{OA} + 5 \overrightarrow{OB} + 7 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$。求 $$\angle ACB$$。
步骤：
1. 设外接圆半径为 $$R$$，则 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = R$$。
2. 将向量方程平方得：$$9R^2 + 25R^2 + 49R^2 + 30 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 42 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + 70 \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$$。
3. 利用外心性质化简，可得 $$\angle ACB = \frac{\pi}{3}$$ 或 $$\frac{2\pi}{3}$$，选 D。
4. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，点 $$Q$$ 在椭圆上，$$\triangle QF_1F_2$$ 的重心为 $$G$$，内心为 $$I$$，且 $$\overrightarrow{GI} = \lambda \overrightarrow{F_1F_2}$$。求离心率 $$e$$。
步骤：
1. 设 $$F_1(-c, 0)$$，$$F_2(c, 0)$$，$$Q(x, y)$$。
2. 重心 $$G$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x}{3}, \frac{y}{3}\right)$$。
3. 内心 $$I$$ 的坐标满足 $$\overrightarrow{GI} = \lambda \overrightarrow{F_1F_2} = (2c\lambda, 0)$$，因此 $$I$$ 的坐标为 $$\left(\frac{x}{3} + 2c\lambda, \frac{y}{3}\right)$$。
4. 利用内心性质及椭圆性质，化简可得 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 B。
5. 解析：
设 $$G$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的重心，$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{AC}$$。求 $$\lambda$$。
步骤：
1. 重心性质：$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
2. 对比题目给定的表达式，$$\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \lambda \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$，解得 $$\lambda = \frac{1}{3}$$，选 C。
6. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$，过 $$F$$ 的直线 $$l$$ 与 $$C$$ 交于 $$A$$、$$B$$ 两点，且 $$|AB| = 10$$。求 $$\triangle OAB$$ 重心的横坐标。
步骤：
1. 设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 2)$$。
2. 与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$。
3. 由抛物线性质，$$|AB| = x_1 + x_2 + 4 = 10$$，解得 $$x_1 + x_2 = 6$$。
4. 重心横坐标为 $$\frac{x_1 + x_2 + 0}{3} = 2$$，选 B。
8. 解析：
在 $$\triangle ABC$$ 中，$$O$$ 为重心，$$\overrightarrow{BO} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$$。求 $$\lambda - 2\mu$$。
步骤：
1. 重心性质：$$\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BM}$$，其中 $$M$$ 为 $$AC$$ 中点。
2. $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$。
3. 因此，$$\overrightarrow{BO} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}) = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$。
4. 对比题目给定的表达式，$$\lambda = -\frac{2}{3}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，所以 $$\lambda - 2\mu = -1$$，选 B。
9. 解析：
点 $$P$$ 在平面 $$\alpha$$ 外，到 $$AB$$、$$BC$$、$$CA$$ 的距离相等，且射影 $$P'$$ 在 $$\triangle ABC$$ 内部。求 $$P'$$ 的性质。
步骤：
1. 因为 $$P$$ 到三边的距离相等，且 $$P'$$ 是其在平面内的射影，由几何性质可知 $$P'$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的内心，选 C。
10. 解析：
设 $$PH \perp$$ 平面 $$ABC$$，且 $$PA = PB = PC$$。求 $$H$$ 的性质。
步骤：
1. 因为 $$PH$$ 垂直于平面 $$ABC$$，且 $$PA = PB = PC$$，所以 $$H$$ 到 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 的距离相等，即 $$H$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的外心，选 B。