格物学

向量与其他知识的综合应用-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶选择题自测题解析-贵州省等高二数学必修,平均正确率32.00000000000001%

2025-05-07
向量与其他知识的综合应用-平面向量的拓展与综合知识点月考进阶选择题自测题解析-贵州省等高二数学必修,平均正确率32.00000000000001%
1、['投影向量（投影）'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{3}{，}{A}{C}{=}{2}{，}{∠}{B}{A}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{M}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，$${{N}}$$在直线$${{A}{M}}$$上，且$${{B}{N}{⊥}{A}{M}{、}}$$则向量$$\overrightarrow{B N}$$在向量$$\overrightarrow{A C}$$上的投影为（）

B

A.$$\frac{2 7} {1 9}$$

B.$$- \frac{2 7} {3 8}$$

C.$$- \frac{2 7} {1 9}$$

D.$$\frac{2 7} {3 8}$$

2、['三角函数与其他知识的综合应用'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '向量与其他知识的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']

正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点$${{P}}$$，使得$$( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{1}} ) \cdot\overrightarrow{F_{1} P}=0 ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，设$${{∠}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{=}{α}{，}}$$则$${{t}{a}{n}{α}}$$的值为

B

A.$${{6}{+}{\sqrt {5}}}$$

B.$${{5}{+}{2}{\sqrt {6}}}$$

C.$${{6}{−}{\sqrt {5}}}$$

D.$${{5}{−}{2}{\sqrt {6}}}$$

3、['三角形的面积（公式）'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\ ( \ 2， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{\frac{B A} {| B A |}}+\frac{\overrightarrow{B C}} {| \overrightarrow{B C} |}=\frac{\overrightarrow{B D}} {| \overrightarrow{B D} |}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的面积是（）

A

A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

4、['点与圆的位置关系'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '向量的夹角'， '向量与其他知识的综合应用'， '与圆有关的最值问题'， '两个向量数量积的几何意义']

正确率19.999999999999996%已知圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{2}{\sqrt {3}}{y}{+}{3}{=}{0}}$$，点$${{A}{（}{0}{，}{m}{）}{（}{m}{>}{0}{）}{，}{A}{，}{B}}$$两点关于$${{x}}$$轴对称．若圆$${{C}}$$上存在点$${{M}}$$，使得$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B M}=0，$$则当$${{m}}$$取得最大值时，点$${{M}}$$的坐标是（）

C

A.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{2}} {2} )$$

B.$$( \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$

C.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{3}} {2} )$$

D.$$( \frac{3 \sqrt{3}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$

5、['向量与其他知识的综合应用'， '数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%在直角坐标平面$${{x}{O}{y}}$$上的一列点$${{A}_{1}{（}{1}{，}{{a}_{1}}{）}{，}{{A}_{2}}{（}{2}{，}{{a}_{2}}{）}{，}{…}{，}{{A}_{n}}{（}{2}{，}{{a}_{n}}{）}{，}{…}}$$，简记为$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$.若由$$b_{n}=\overrightarrow{A_{n} A_{n+1}} \cdot\overrightarrow{j}$$构成的数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1} > b_{n}， \， \， \， n=1， \， \， \， 2，$$，其中$${{j}^{→}}$$为方向与$${{y}}$$轴正方向相同的单位向量，则称$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列．有下列说法
$$\oplus\; A_{1} ( 1， \; 1 )， \; \; A_{2} ( 2， \; \; \frac{1} {2} )， \; \; A_{3} ( 3， \; \; \frac{1} {3} )， \; \; \ldots\; A_{n} ( n. \; \frac{1} {n} )， \; \; \ldots$$，为$${{T}}$$点列；
$${②}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，且点$${{A}_{2}}$$在点$${{A}_{1}}$$的右上方．任取其中连续三点$$A_{k} \cdot\ A_{k+1} \cdot\ A_{k+2}$$，则$$\triangle A_{k} A_{k+1} A_{k+2}$$可以为锐角三角形；
$${③}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$${{1}{⩽}{m}{<}{n}{<}{p}{<}{q}}$$，满足$${{m}{+}{q}{=}{n}{+}{p}}$$，则$${{a}_{q}{−}{{a}_{p}}{⩾}{（}{q}{−}{p}{）}{{b}_{p}}}$$；
$${④}$$若$${{\{}{{A}_{n}}{\}}}$$为$${{T}}$$点列，正整数若$${{1}{⩽}{m}{<}{n}{<}{p}{<}{q}}$$，满足$${{m}{+}{q}{=}{n}{+}{p}}$$，则$$\overrightarrow{A_{n} A_{q}} \cdot\overrightarrow{j} > \overrightarrow{A_{m} A_{p}} \cdot\overrightarrow{j}.$$
其中，正确说法的个数为（）

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

6、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率19.999999999999996%已知向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=\overrightarrow{| O B |}=1， \， \， \， \overrightarrow{O A} \perp\overrightarrow{O B}， \， \， \， \overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \， \， \， \mu\in R ).$$若$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，并且$$| \overrightarrow{M C} |=1$$，则$${{λ}{+}{μ}}$$的最大值是（）

B

A.$${{1}{−}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$

7、['平面向量基本定理'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%已知平面内的向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足：$$\left| \overrightarrow{O A} \right|=1， \; \; ( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} ) \cdot( \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} )=0$$，且$$\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$，又$$\overrightarrow{O P}=\lambda_{1} \overrightarrow{O A}+\lambda_{2} \overrightarrow{O B}， \; \， 0 \leqslant\lambda_{1} \leqslant1， \; \， 1 \leqslant\lambda_{2} \leqslant3.$$则由满足条件的点$${{P}}$$所组成的图形面积是（）

A

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量垂直'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%设$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}{{c}{⃗}}}$$为平面向量，$${{|}{{a}{⃗}}{|}{=}{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}{2}}$$，若$${{(}{2}{{c}{⃗}}{−}{{a}{⃗}}{)}{⋅}{(}{{c}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{)}{=}{0}}$$，则$${{c}{⃗}{⋅}{{b}^{⃗}}}$$的最大值为（）

C

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{9} {4}$$

C.$$\frac{1 7} {4}$$

D.$${{5}}$$

9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > b > 0 \right)， \ A \left( 2， 0 \right)$$为长轴的一个端点，弦$${{B}{C}}$$过椭圆的中心$${{O}}$$，且$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B C}=0， \; \; \left| \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} \right|=2 \left| \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A} \right|$$，则其短轴长为  （）

B

A.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$

B.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{4 \sqrt6} {3}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

10、['与球有关的切、接问题'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量与其他知识的综合应用']

正确率40.0%正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的棱长为$${{2}}$$，动点$${{P}}$$在以$${{B}{C}}$$为直径的球面上，则$$\overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{A D}$$的最大值为（）

C

A.$${{2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

以下是各题的详细解析： --- ### 第1题

在 $$△ABC$$ 中，$$AB=3$$，$$AC=2$$，$$∠BAC=60°$$，$$M$$ 是 $$BC$$ 的中点，$$N$$ 在直线 $$AM$$ 上，且 $$BN⊥AM$$。求向量 $$\overrightarrow{BN}$$ 在向量 $$\overrightarrow{AC}$$ 上的投影。

**解析：** 1. 计算 $$BC$$ 的长度： $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60° = 9 + 4 - 6 = 7$$，故 $$BC = \sqrt{7}$$。 2. 确定 $$M$$ 的坐标： 设 $$A$$ 为原点，$$AB$$ 沿 $$x$$ 轴方向，则 $$B(3, 0)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$，$$M\left(2, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。 3. 求 $$AM$$ 的斜率： $$AM$$ 的方向向量为 $$\overrightarrow{AM} = (2, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。 4. 设 $$N$$ 在 $$AM$$ 上，$$\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$$，解得 $$N$$ 的坐标。 5. 投影计算： $$\overrightarrow{BN}$$ 在 $$\overrightarrow{AC}$$ 上的投影为 $$\frac{\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = -\frac{27}{38}$$。 **答案：** $$-\frac{27}{38}$$，选 **B**。
--- ### 第2题

双曲线 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$ 的左、右焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$。点 $$P$$ 在左支上，满足 $$(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OF_1}) \cdot \overrightarrow{F_1P} = 0$$，求 $$\tan α$$（$$α = ∠PF_1F_2$$）。

**解析：** 1. 双曲线性质： $$F_1 = (-\sqrt{5}, 0)$$，$$F_2 = (\sqrt{5}, 0)$$。 2. 向量条件化简： $$(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OF_1}) \cdot \overrightarrow{F_1P} = 0$$ 等价于 $$P$$ 在以 $$F_1$$ 为中心的性质圆上。 3. 几何关系： 利用双曲线定义和余弦定理，解得 $$\tan α = 5 + 2\sqrt{6}$$。 **答案：** $$5 + 2\sqrt{6}$$，选 **B**。
--- ### 第3题

四边形 $$ABCD$$ 中，$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (2, 0)$$，且 $$\frac{\overrightarrow{BA}}{|BA|} + \frac{\overrightarrow{BC}}{|BC|} = \frac{\overrightarrow{BD}}{|BD|}$$，求面积。

**解析：** 1. 向量条件分析： $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ 说明 $$ABCD$$ 是平行四边形。 2. 单位向量条件： 表明 $$BD$$ 是 $$∠ABC$$ 的角平分线。 3. 几何性质： 计算得 $$∠ABC = 120°$$，面积为 $$2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin 120° = 2\sqrt{3}$$。 **答案：** $$2\sqrt{3}$$，选 **A**。
--- ### 第4题

圆 $$C: x^2 + y^2 - 2x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0$$，点 $$A(0, m)$$（$$m > 0$$），$$A$$ 和 $$B$$ 关于 $$x$$ 轴对称。若圆 $$C$$ 上存在点 $$M$$ 使得 $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$$，求 $$m$$ 最大时 $$M$$ 的坐标。

**解析：** 1. 圆的方程化简： $$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 1$$，圆心 $$(1, \sqrt{3})$$，半径 $$1$$。 2. 条件分析： $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$$ 表示 $$M$$ 在以 $$AB$$ 为直径的圆上。 3. 几何约束： 两圆有交点时 $$m$$ 的最大值为 $$3$$，此时 $$M$$ 的坐标为 $$\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$。 **答案：** $$\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$，选 **C**。
--- ### 第5题

关于 $$T$$ 点列的定义和性质判断。

**解析：** 1. 定义验证： - ① 是 $$T$$ 点列，因为 $$b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} < 0$$ 且单调递增。 - ② 错误，因为 $$T$$ 点列的连续三点不能构成锐角三角形。 - ③ 正确，由单调性可得 $$a_q - a_p \geq (q-p)b_p$$。 - ④ 正确，因为 $$\overrightarrow{A_nA_q} \cdot j = a_q - a_n > a_p - a_m = \overrightarrow{A_mA_p} \cdot j$$。 **答案：** 正确说法有 3 个，选 **C**。
--- ### 第6题

向量 $$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 满足 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$$，$$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$$，$$\overrightarrow{OC} = λ\overrightarrow{OA} + μ\overrightarrow{OB}$$。若 $$M$$ 为 $$AB$$ 中点且 $$|\overrightarrow{MC}| = 1$$，求 $$λ + μ$$ 的最大值。

**解析：** 1. 坐标系设定： 设 $$OA$$ 沿 $$x$$ 轴，$$OB$$ 沿 $$y$$ 轴，$$M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$。 2. 距离条件： $$|\overrightarrow{MC}| = 1$$ 表示 $$(λ - \frac{1}{2})^2 + (μ - \frac{1}{2})^2 = 1$$。 3. 参数化： 令 $$λ = \frac{1}{2} + \cos θ$$，$$μ = \frac{1}{2} + \sin θ$$，则 $$λ + μ = 1 + \sqrt{2}\sin(θ + 45°)$$，最大值为 $$1 + \sqrt{2}$$。 **答案：** $$1 + \sqrt{2}$$，选 **B**。
--- ### 第7题

向量 $$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 满足 $$|\overrightarrow{OA}| = 1$$，$$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 0$$，夹角 $$120°$$。点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{OP} = λ_1\overrightarrow{OA} + λ_2\overrightarrow{OB}$$（$$0 \leq λ_1 \leq 1$$，$$1 \leq λ_2 \leq 3$$），求点 $$P$$ 组成的图形面积。

**解析：** 1. 向量性质： $$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 0$$ 说明 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$$。 2. 参数范围： $$P$$ 的轨迹是一个平行四边形，面积为 $$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| \times (1 \times 2) = \sqrt{3}$$。 **答案：** $$\sqrt{3}$$，选 **A**。
--- ### 第8题

向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 满足 $$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$$，若 $$(2\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$$，求 $$\vec{c} \cdot \vec{b}$$ 的最大值。

**解析：** 1. 条件化简： $$2|\vec{c}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{c} - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$。 2. 极值分析： 设 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 夹角为 $$θ$$，通过几何方法得 $$\vec{c} \cdot \vec{b}$$ 的最大值为 $$\frac{17}{4}$$。 **答案：** $$\frac{17}{4}$$，选 **C**。
--- ### 第9题

椭圆 $$C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，点 $$A(2, 0)$$ 为长轴端点，弦 $$BC$$ 过中心 $$O$$，满足 $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$ 且 $$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = 2|\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}|$$，求短轴长。

**解析：** 1. 椭圆性质： $$a = 2$$，设 $$B(x, y)$$，则 $$C(-x, -y)$$。 2. 向量条件： $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$ 得 $$x^2 + y^2 = 2x$$。 3. 距离条件： 解得 $$b = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$。 **答案：** $$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$，选 **C**。
--- ### 第10题

正四面体 $$ABCD$$ 棱长为 2，动点 $$P$$ 在以 $$BC$$ 为直径的球面上，求 $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AD}$$ 的最大值。

**解析：** 1. 坐标系设定： 设 $$A(1, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$$，$$D(0, \frac{2\sqrt{3}}{3}, 0)$$，$$B(0, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{\frac{8}{3}})$$，$$C(0, -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\sqrt{\frac{8}{3}})$$。 2. 球面方程： $$P$$ 在 $$BC$$ 为直径的球上，满足 $$x^2 + (y + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + z^2 \leq 1$$。 3. 投影计算： $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AD}$$ 的最大值为 $$4$$。 **答案：** $$4$$，选 **C**。
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