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正确率60.0%已知点$${{G}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{A B}=a， \， \， \overrightarrow{A C}=b，$$则$$\overrightarrow{B G}=$$（）
B
A.$$\frac2 3 a+\frac1 3 b$$
B.$$- \frac{2} {3} a+\frac{1} {3} b$$
C.$$\frac2 3 a-\frac1 3 b$$
D.$$- \frac{2} {3} a-\frac{1} {3} b$$
2、['共线向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%设$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，满足$$2 \overrightarrow{O A}-7 \overrightarrow{O B}-3 \overrightarrow{O C}=0.$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积与$${{△}{B}{O}{C}}$$的面积的比值为（）
D
A.$${{6}}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{1 2} {7}$$
D.$${{4}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']正确率19.999999999999996%已知点$${{O}}$$是$${{A}{B}{C}}$$的内心，若$$\overrightarrow{A O}=\frac{4} {9} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {9} \overrightarrow{A C}$$，则$$\operatorname{c o s} \angle B A C=$$（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
4、['两点间的距离'， '三角形的“四心”'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%已知点$${{F}}$$是抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点，$$A， ~ B， ~ C$$在该抛物线上，若点$${{F}}$$恰好是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$| \overrightarrow{A F} |+| \overrightarrow{B F} |+| \overrightarrow{C F} |=~ ($$）
C
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{3}}$$
5、['平面向量基本定理'， '三角形的“四心”']正确率60.0%svg异常
B
A.$$\overrightarrow{G D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{7} {1 2} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{G D}=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {1 2} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{G D}=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{7} {1 2} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{G D}=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {1 2} \overrightarrow{A C}$$
6、['平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，若$$\overrightarrow{B O}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}，$$则$$\lambda-2 \mu=$$（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$D， ~ E， ~ F$$分别$$B C， ~ C A， ~ A B$$的中点，点$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}$$等于（$${）}$$．
D
A.$${{0}}$$
B.$$4 \overrightarrow{M D}$$
C.$$4 \overrightarrow{M E}$$
D.$$4 \overrightarrow{M F}$$
8、['余弦定理及其应用'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， B C=2， \， \， \， A C=4， \， \， \， G$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{A G} \cdot\overrightarrow{G C}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{6 7} {1 8}$$
B.$$- \frac{6 7} {1 8}$$
C.$$\frac{2 6} {9}$$
D.$$- \frac{2 6} {9}$$
9、['平面向量的概念'， '数量积的性质'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知点$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且满足$$\overrightarrow{A P}=\lambda\ ( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} | \cos B}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} | \cos C} ) \ \ ( \lambda\in{\bf R} ) \enspace，$$则直线$${{A}{P}}$$必经过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.重心
B.内心
C.垂心
D.外心
10、['椭圆的定义'， '三角形的“四心”'， '椭圆的其他性质'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$$1 < m < 4， ~ ~ F_{1}， ~ ~ F_{2}$$为曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {4-m}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$为曲线$${{C}}$$与曲线$$E_{:} \， \， x^{2}-\frac{y^{2}} {m-1}=1$$在第一象限的交点，直线$${{l}}$$为$${{C}}$$在点$${{P}}$$处的切线，若三角形$${{F}_{1}{P}{{F}_{2}}}$$的内心为点$${{M}}$$，直线$${{F}_{1}{M}}$$与直线$${{l}}$$交于$${{N}}$$点，则$${{M}{，}{N}}$$横坐标之差为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.随$${{m}}$$的变化而变化
1. 首先，重心 $$G$$ 的向量表达式为 $$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b$$。题目要求 $$\overrightarrow{BG}$$，利用向量减法：$$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b - a = -\frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b$$。故选 B。
2. 将向量方程 $$2\overrightarrow{OA} - 7\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OC} = 0$$ 变形为 $$\overrightarrow{OA} = \frac{7}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OC}$$，说明点 $$O$$ 在 $$△ABC$$ 的中线比例位置。计算面积比时，通过向量分析可得面积比为 $$\frac{12}{7}$$。故选 C。
3. 内心 $$O$$ 的向量表达式为 $$\overrightarrow{AO} = \frac{4}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{9}\overrightarrow{AC}$$，结合内心性质，设 $$AB = c$$，$$AC = b$$，则比例关系为 $$\frac{4}{9} : \frac{1}{9} = 4 : 1$$。利用角平分线定理和余弦公式，最终得到 $$\cos \angle BAC = \frac{1}{8}$$。故选 C。
4. 抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点 $$F(2, 0)$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，$$C(x_3, y_3)$$，重心条件为 $$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = 2$$，即 $$x_1 + x_2 + x_3 = 6$$。由抛物线性质，$$|AF| + |BF| + |CF| = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) + (x_3 + 2) = 12$$。故选 C。
5. 题目描述不完整，无法解析。
6. 重心 $$O$$ 的向量表达式为 $$\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$。将 $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$ 代入，得到 $$\overrightarrow{BO} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。因此 $$\lambda = -\frac{2}{3}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，$$\lambda - 2\mu = -\frac{4}{3}$$。故选 D。
7. 重心 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 0$$，因此 $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{MC}$$。由于 $$M$$ 是中线的交点，$$\overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{MF}$$，故原式等于 $$4\overrightarrow{MF}$$。故选 D。
8. 首先计算重心 $$G$$ 的坐标，利用边长和向量点积公式，最终得到 $$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{GC} = -\frac{67}{18}$$。故选 B。
9. 题目给出的向量表达式与角平分线性质相关，但进一步分析表明其描述的是垂心的性质。因此直线 $$AP$$ 经过垂心。故选 C。
10. 曲线 $$C$$ 和 $$E$$ 的交点 $$P$$ 在第一象限，切线 $$l$$ 的斜率为 $$-\frac{x}{y}$$。内心 $$M$$ 的坐标计算较复杂，最终得到 $$M$$ 和 $$N$$ 的横坐标差为 $$-1$$。故选 A。