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正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=2， \ b=3， \ \ \operatorname{c o s} C=\frac{3} {5}$$，此三角形的面积$${{S}}$$等于（）
B
A.$$\frac{9} {5}$$
B.$$\frac{1 2} {5}$$
C.$$\frac{1 8} {5}$$
D.$$\frac{2 4} {5}$$
2、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '同角三角函数的商数关系'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A. ~ B. ~ C$$所对的边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且
.若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$${{S}{=}{{1}{0}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{0}}$$
B.$$1 0+2 \sqrt{3}$$
C.$$1 0+2 \sqrt{5}$$
D.$${{1}{2}}$$
3、['三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']正确率19.999999999999996%已知$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$$. \ \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{P B}+2 \overrightarrow{P C}={\bf0}， \ \ | \overrightarrow{A B} |=4， \ \ \overrightarrow{| P B |}=| \overrightarrow{P C} |=3.$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
D
A.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
4、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{b}{=}{1}}$$，$$S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$$， 求$$\frac{a+2 b+c} {\operatorname{s i n} A+2 \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C}$$$${{=}}$$（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3 9}} {3}$$
5、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$${{A}{、}{B}}$$是椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0$$上的两点，且$${{A}{、}{B}}$$关于坐标原点对称，$${{F}}$$是椭圆的一个焦点，若$${{△}{A}{B}{F}}$$面积的最大值恰为$${{2}}$$，则椭圆$${{E}}$$的长轴长的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B=6 0^{\circ}， \， \， \， A C=4 \sqrt{3}， \， \， \， A C$$边上的高为$${{2}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的内切圆半径$${{r}{=}{（}}$$）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$$2 ( \sqrt{2}-1 )$$
C.$$\sqrt{2}-1$$
D.$$2 ( \sqrt{2}+1 )$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$$F ( 1， 0 )， \， \， O$$为坐标原点，$${{A}{，}{B}}$$是抛物线上的点，且满足$$\overrightarrow{O F}=\frac{1} {4} \overrightarrow{O A}+\frac{3} {4} \overrightarrow{O B}，$$则$$| A B |=$$
B
A.$$\frac{1 4} {3}$$
B.$$\frac{1 6} {3}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过焦点$${{F}}$$与抛物线$${{C}}$$分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且直线$${{l}}$$不与$${{x}}$$轴垂直，线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线与$${{x}}$$轴交于点$$P ( 1 0， 0 )$$，则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为（）
C
A.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {6}}}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{A B}=( \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}， \operatorname{c o s} 6 6^{\circ} )， \， \， \， \overrightarrow{A C}=( 2 \operatorname{c o s} 8 4^{\circ}， 2 \operatorname{c o s} 6^{\circ} )，$$则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为 （）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$在双曲线上，且$$\angle F_{1} P F_{2}=1 2 0^{\circ}， \， \， \angle F_{1} P F_{2}$$的平分线交$${{x}}$$轴于点$${{A}}$$，则$$| P A |=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
1. 解析：
已知 $$a=2$$, $$b=3$$, $$\cos C=\frac{3}{5}$$，则 $$\sin C=\sqrt{1-\cos^2 C}=\frac{4}{5}$$。
三角形面积公式为 $$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$，代入得：
$$S=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$$。
答案为 B。
2. 解析：
由题意，$$a\cos B+b\cos A=c$$，根据余弦定理：
$$a\cdot\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+b\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=c$$，化简得 $$c=c$$，恒成立。
面积 $$S=\frac{1}{2}ab\sin C=10$$，设 $$a=b$$，则 $$\frac{1}{2}a^2\sin C=10$$。
由余弦定理，$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=2a^2(1-\cos C)$$。
若 $$a=b=5$$，$$\sin C=\frac{4}{5}$$，则 $$c=2\sqrt{5}$$，周长为 $$10+2\sqrt{5}$$。
答案为 C。
3. 解析：
由向量条件 $$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=0$$，得 $$\overrightarrow{AB}=-2(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$$。
设 $$D$$ 为 $$BC$$ 中点，则 $$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PD}$$，故 $$\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{PD}$$。
由 $$|\overrightarrow{AB}|=4$$，得 $$|\overrightarrow{PD}|=1$$。
$$|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|=3$$，$$BD=\sqrt{PB^2-PD^2}=2\sqrt{2}$$，故 $$BC=4\sqrt{2}$$。
由余弦定理，$$\cos\angle BPC=\frac{PB^2+PC^2-BC^2}{2\cdot PB\cdot PC}=-\frac{7}{9}$$。
面积 $$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC\times\sin\angle ABC=8\sqrt{2}$$。
答案为 D。
4. 解析：
由面积公式 $$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{3}$$，代入 $$b=1$$，$$A=60^\circ$$，得 $$c=4$$。
由余弦定理，$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}=\sqrt{1+16-4}= \sqrt{13}$$。
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$，故 $$\frac{a+2b+c}{\sin A+2\sin B+\sin C}=2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{2\sqrt{39}}{3}$$。
答案为 D。
5. 解析：
设椭圆焦点 $$F(c,0)$$，$$A(x,y)$$，$$B(-x,-y)$$，则 $$\triangle ABF$$ 面积为 $$\frac{1}{2}|2y|\cdot c=|y|c$$。
最大面积为 $$bc=2$$（当 $$y=b$$ 时）。
由 $$a^2=b^2+c^2$$，$$a\geq\sqrt{2bc}=2$$，当 $$b=c$$ 时取等。
长轴长 $$2a$$ 的最小值为 $$2$$。
答案为 B。
6. 解析：
由面积公式，$$\frac{1}{2}\times AC\times h=\frac{1}{2}\times4\sqrt{3}\times2=4\sqrt{3}$$。
又面积 $$S=\frac{1}{2}ac\sin B$$，即 $$4\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times a\times c\times\frac{\sqrt{3}}{2}$$，得 $$ac=16$$。
由余弦定理，$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$，即 $$48=a^2+c^2-16$$，故 $$a^2+c^2=64$$。
解得 $$a=c=4\sqrt{2}$$。
内切圆半径 $$r=\frac{S}{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=2(\sqrt{2}-1)$$。
答案为 B。
7. 解析：
抛物线 $$y^2=4x$$（因焦点 $$F(1,0)$$，故 $$p=2$$）。
由向量条件 $$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$$，得 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标关系。
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$(1,0)=\frac{1}{4}(x_1,y_1)+\frac{3}{4}(x_2,y_2)$$。
解得 $$x_1+3x_2=4$$，$$y_1+3y_2=0$$。
由抛物线方程，$$y_1^2=4x_1$$，$$y_2^2=4x_2$$，联立解得 $$x_1=4$$，$$x_2=\frac{4}{9}$$。
故 $$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\frac{16}{3}$$。
答案为 B。
8. 解析：
抛物线 $$y^2=8x$$，焦点 $$F(2,0)$$。
设直线 $$l$$ 方程为 $$y=k(x-2)$$，与抛物线联立得 $$k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0$$。
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则中点 $$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$。
垂直平分线斜率为 $$-\frac{1}{k}$$，过 $$M$$ 和 $$P(10,0)$$，解得 $$k^2=2$$。
面积 $$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_1-y_2|=8\sqrt{2}$$。
答案为 C。
9. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AB}=(\cos24^\circ,\cos66^\circ)$$，$$\overrightarrow{AC}=(2\cos84^\circ,2\cos6^\circ)$$。
计算叉积：
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\cos24^\circ\cdot2\cos6^\circ-\cos66^\circ\cdot2\cos84^\circ$$
$$=2(\cos24^\circ\cos6^\circ-\sin24^\circ\sin6^\circ)=2\cos30^\circ=\sqrt{3}$$。
面积 $$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为 C。
10. 解析：
双曲线 $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$，$$a=1$$，$$b=\sqrt{3}$$，$$c=2$$。
设 $$P(x,y)$$，由双曲线性质，$$|PF_1-PF_2|=2a=2$$。
由余弦定理，$$|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|\cos120^\circ$$。
即 $$16=(|PF_1|-|PF_2|)^2+3|PF_1||PF_2|$$，解得 $$|PF_1||PF_2|=4$$。
角平分线定理，$$\frac{|PA|}{|PF_2|}=\frac{|PF_1|}{|F_1F_2|}$$，故 $$|PA|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
答案为 B。