三角形解的个数问题-平面向量的拓展与综合知识点专题进阶自测题解析-内蒙古自治区等高二数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['余弦定理及其应用'， '同角三角函数的平方关系'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=\sqrt{5}， \; \; b=\sqrt{3}， \; \; \operatorname{s i n} B=\frac{\sqrt{2}} {2}$$，则符合条件的三角形有（）

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{0}}$$个

2、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}}$$若$${{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{a}{=}{\sqrt {6}}{，}{b}{=}{4}{，}}$$则满足条件的$${{△}{A}{B}{C}}$$（）

A.无解

B.有一解

C.有两解

D.不能确定

3、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$黄冈调研]已知$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边$${，}$$
$${{C}{=}{{4}{5}^{∘}}{，}{c}{=}{\sqrt {2}}{，}{a}{=}{x}{，}}$$若满足条件的三角形有两个，则$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$${\sqrt {2}{<}{x}{<}{1}}$$

B.$${\sqrt {2}{<}{x}{<}{2}}$$

C.$${{1}{<}{x}{<}{2}}$$

D.$${{1}{<}{x}{<}{\sqrt {2}}}$$

4、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%符合下列条件的三角形有且只有一个的是$${{(}{)}}$$

A.$${{a}{=}{1}{，}{b}{=}{2}{，}{c}{=}{3}}$$

B.$${{a}{=}{1}{，}{b}{=}{{b}^{→}}{，}{∠}{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$

C.$${{a}{=}{1}{，}{b}{=}{2}{，}{∠}{A}{=}{{1}{0}{0}^{∘}}}$$

D.$${{b}{=}{c}{=}{1}{，}{∠}{B}{=}{{4}{5}^{∘}}}$$

5、['三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{c}{=}{4}{，}{2}{\sqrt {3}}{<}{a}{<}{4}}$$，则这样的三角形的解有（）

A.两解

B.一解

C.无解

D.无穷多解

6、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，由已知条件解三角形，其中有两解的是$${{(}{)}}$$

A.$${{b}{=}{{2}{0}}{，}{A}{=}{{4}{5}}{º}{，}{C}{=}{{8}{0}}{º}}$$

B.$${{a}{=}{{3}{0}}{，}{c}{=}{{2}{8}}{，}{B}{=}{{6}{0}}{º}}$$

C.$${{a}{=}{{1}{4}}{，}{b}{=}{{1}{6}}{，}{A}{=}{{4}{5}}{º}}$$

D.$${{a}{=}{{1}{2}}{，}{c}{=}{{1}{5}}{，}{A}{=}{{1}{2}{0}}{º}}$$

7、['三角形解的个数问题']

正确率40.0%如果满足条件$${{B}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{b}{=}{{1}{2}}}$$的$${{△}{A}{B}{C}}$$有两个解，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{0}{<}{a}{⩽}{{1}{2}}}$$

B.$${{1}{2}{<}{a}{<}{8}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{0}{<}{a}{⩽}{{1}{2}}}$$或$${{a}{=}{8}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{1}{2}{<}{a}{⩽}{8}{\sqrt {3}}}$$

8、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$所对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{a}{=}{1}{，}{b}{=}{\sqrt {3}}{，}{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$.则该三角形$${{(}{)}}$$

A.无解

B.有一解

C.有两解

D.不能确定

9、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%如果满足$${{∠}{A}{B}{C}{=}{{6}{0}^{0}}{，}{A}{B}{=}{8}{，}{A}{C}{=}{k}}$$的三角形$${{A}{B}{C}}$$有两个，那么实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{[}{2}{\sqrt {3}}{，}{4}{\sqrt {3}}{]}}$$

B.$${{(}{4}{\sqrt {3}}{，}{8}{)}}$$

C.$${{(}{4}{，}{8}{)}}$$

D.$${{[}{4}{\sqrt {3}}{，}{6}{)}}$$

10、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{a}{=}{6}{，}{b}{=}{9}{，}{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$，则此三角形$${{(}{)}}$$

A.有两解

B.有一解

C.无解

D.解的个数不确定

以下是各题的详细解析：

1. 在 $$△ABC$$ 中，已知 $$a = \sqrt{5}$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。由正弦定理得： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{3}}$$。由于 $$\sin A \approx 0.912 > 1$$ 不成立，故无解。答案为 D。

2. 在 $$△ABC$$ 中，$$A = 60^\circ$$，$$a = \sqrt{6}$$，$$b = 4$$。由正弦定理得： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} > 1$$。无解。答案为 A。

3. 在 $$△ABC$$ 中，$$C = 45^\circ$$，$$c = \sqrt{2}$$，$$a = x$$。要使三角形有两解，需满足： $$x \sin C < c < x \Rightarrow x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2} < x \Rightarrow x < 2$$ 且 $$x > \sqrt{2}$$。答案为 B。

4. 选项分析：

A：$$1 + 2 = 3$$，不满足三角形不等式，无解。
B：缺少数值条件，无法确定。
C：由正弦定理，$$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{2 \sin 100^\circ}{1} \approx 1.969 > 1$$，无解。
D：等腰三角形，$$∠B = 45^\circ$$，唯一确定。答案为 D。

5. 在 $$△ABC$$ 中，$$A = 60^\circ$$，$$c = 4$$，$$2\sqrt{3} < a < 4$$。由正弦定理： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \sin C = \frac{c \sin A}{a} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{a}$$。当 $$a = 2\sqrt{3}$$ 时，$$\sin C = 1$$；当 $$a = 4$$ 时，$$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。因此有两解。答案为 A。

6. 选项分析：

A：已知两角一边，唯一确定。
B：已知两边及夹角，唯一确定。
C：由正弦定理，$$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{14} \approx 0.808$$，有两解。
D：$$A = 120^\circ$$ 为钝角，唯一确定。答案为 C。

7. 在 $$△ABC$$ 中，$$B = 60^\circ$$，$$b = 12$$，要使三角形有两解，需满足： $$a \sin B < b < a \Rightarrow a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < 12 < a \Rightarrow a < 8\sqrt{3}$$ 且 $$a > 12$$。答案为 B。

8. 在 $$△ABC$$ 中，$$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$A = 30^\circ$$。由正弦定理： $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。由于 $$B$$ 可以是 $$60^\circ$$ 或 $$120^\circ$$，有两解。答案为 C。

9. 在 $$△ABC$$ 中，$$∠ABC = 60^\circ$$，$$AB = 8$$，$$AC = k$$。要使三角形有两解，需满足： $$AB \sin B < AC < AB \Rightarrow 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} < k < 8 \Rightarrow 4\sqrt{3} < k < 8$$。答案为 B。

10. 在 $$△ABC$$ 中，$$a = 6$$，$$b = 9$$，$$A = 30^\circ$$。由正弦定理： $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \frac{1}{2}}{6} = \frac{3}{4}$$。由于 $$B$$ 可以是锐角或钝角，有两解。答案为 A。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}