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正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，$$3 \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O B}+5 \overrightarrow{O C}$$$${{=}{0}{，}}$$则$$\operatorname{c o s} \angle A B C$$的值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']正确率19.999999999999996%已知点$${{O}}$$是$${{A}{B}{C}}$$的内心，若$$\overrightarrow{A O}=\frac{4} {9} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {9} \overrightarrow{A C}$$，则$$\operatorname{c o s} \angle B A C=$$（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
3、['三角形的“四心”'， '向量垂直']正确率60.0%设$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\sqrt{2} \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
4、['三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知点$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且满足$$\left| \overrightarrow{O A} \right|^{2}+\left| \overrightarrow{B C} \right|^{2}$$$$= \left| \overrightarrow{O B} \right|^{2}+\left| \overrightarrow{C A} \right|^{2}$$$$= \left| \overrightarrow{O C} \right|^{2}+\left| \overrightarrow{A B} \right|^{2}$$，则$${{O}}$$一定为$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
5、['三角形的“四心”'， '空间向量共线定理']正确率60.0%已知$$A， ~ B， ~ C$$是平面上不共线的三点，$${{O}}$$是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的重心，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{\bf O P} \!=\! \frac{1} {3} ( \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O A} \!+\! \frac{1} {2} \overrightarrow{\bf O B} \!+\! 2 \overrightarrow{\bf O C} ).$$则$${{P}}$$一定为$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的（）
A
A.$${{A}{B}}$$边中线的三等分点$${{(}}$$非重心$${{)}}$$
B.$${{A}{B}}$$边的中点
C.$${{A}{B}}$$边中线的中点
D.重心
6、['点与圆的位置关系'， '两点间的距离'， '向量的模'， '三角形的“四心”']正确率60.0%已知$$A \left( 0， 1 \right)， \， \， \， B \left( \sqrt{2}， 0 \right)， \， \， \， O$$为坐标原点，动点$${{P}}$$满足$$\left| \overrightarrow{O P} \right|=2，$$则$$\left| \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O P} \right|$$的 最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{7}{−}{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{7}{+}{4}{\sqrt {3}}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%有下列命题：$${①}$$在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为平行四边形；
$${②}$$在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，若$$\left( \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \right) \cdot\left( \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D} \right)=0，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$为矩形；
$${③}$$若$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}，$$则点$${{M}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心；
$${④}$$若$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且$$| \overrightarrow{P A} |=| \overrightarrow{P B} |=| \overrightarrow{P C} |$$，则点$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心．
其中正确命题的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$$O， \ N， \ P$$在所在$${{△}{A}{B}{C}}$$的平面内，且$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=| \overrightarrow{O C} |， \， \， \， \overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}$$，且$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P C}，$$则$$O， \ N， \ P$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
9、['向量加法的定义及运算法则'， '椭圆的离心率'， '共线向量基本定理'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）'， '平面向量共线的坐标表示']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )， \ F_{1}， \ F_{2}$$为其左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上除长轴端点外的任一点，$${{G}}$$为$${{Δ}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$内一点，满足$$3 \overrightarrow{P G}=\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}， \， \， \， \Delta F_{1} P F_{2}$$的内心为$${{I}}$$，且有$$\overrightarrow{I G}=\lambda\overrightarrow{F_{1} F_{2}} ($$其中$${{λ}}$$为实数$${{)}}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率$${{e}}$$等于
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['三角形的“四心”'， '直线与平面垂直的性质定理']正确率40.0%设$${{P}{H}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}}$$且$$P A， ~ P B， ~ P C$$均相等，则$${{H}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
1. 已知$$O$$为$$\triangle ABC$$的外心，$$3 \overrightarrow{OA}+4 \overrightarrow{OB}+5 \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$，则$$\cos \angle ABC$$的值为（ ）。
设外接圆半径为$$R$$，则$$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=R$$。由向量关系，两边平方：
$$|3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}|^2=0$$
展开得：$$9R^2+16R^2+25R^2+2(12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+15\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+20\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})=0$$
利用$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=R^2\cos 2C$$等关系，代入化简可得$$\cos \angle ABC = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，故选B。
2. 已知点$$O$$是$$\triangle ABC$$的内心，若$$\overrightarrow{AO}=\frac{4}{9} \overrightarrow{AB}+\frac{1}{9} \overrightarrow{AC}$$，则$$\cos \angle BAC =$$（ ）。
内心性质：$$\overrightarrow{AO}=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$$，对比得$$\frac{b}{a+b+c}=\frac{4}{9}$$，$$\frac{c}{a+b+c}=\frac{1}{9}$$。
设$$a+b+c=9k$$，则$$b=4k$$，$$c=1k$$，$$a=4k$$。由余弦定理：
$$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16k^2+1k^2-16k^2}{2 \times 4k \times 1k} = \frac{1}{8}$$，故选C。
3. 设$$O$$为$$\triangle ABC$$的外心，且$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{2} \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$，则$$\triangle ABC$$的内角$$C=$$（ ）。
设外接圆半径$$R$$，两边平方：
$$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{2}\overrightarrow{OC}|^2=0$$
展开：$$R^2+R^2+2R^2+2R^2\cos 2C+2\sqrt{2}R^2\cos(A-B)+2\sqrt{2}R^2\cos C=0$$
通过对称性和计算可得$$\angle C = \frac{\pi}{4}$$，故选B。
4. 已知点$$O$$为$$\triangle ABC$$所在平面内一点，且满足$$|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{CA}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2$$，则$$O$$一定为$$\triangle ABC$$的（ ）。
由条件：$$|\overrightarrow{OA}|^2 - |\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{CA}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2$$，利用向量恒等式可推得$$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$，同理得$$O$$为垂心，故选C。
5. 已知$$A, B, C$$是平面上不共线的三点，$$O$$是$$\triangle ABC$$的重心，动点$$P$$满足$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + 2 \overrightarrow{OC} \right)$$，则$$P$$一定为$$\triangle ABC$$的（ ）。
重心$$O$$满足$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$，代入化简：
$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) + 2\overrightarrow{OC} \right) = \frac{1}{6}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$$
这表明$$P$$在$$AB$$边中线上，且分中线为$$2:1$$比例，为非重心的三等分点，故选A。
6. 已知$$A(0,1), B(\sqrt{2},0), O$$为坐标原点，动点$$P$$满足$$|\overrightarrow{OP}|=2$$，则$$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}|$$的最小值为（ ）。
设$$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(\sqrt{2},1)$$，则$$|\overrightarrow{OS}|=\sqrt{3}$$，原式即$$|\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OP}|$$。
当$$\overrightarrow{OP}$$与$$\overrightarrow{OS}$$反向时取最小值：$$||\overrightarrow{OS}|-|\overrightarrow{OP}||=|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$$，故选A。
7. 有下列命题：① 在四边形$$ABCD$$中，若$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$，则四边形$$ABCD$$为平行四边形；② 在四边形$$ABCD$$中，若$$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}) \cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=0$$，则四边形$$ABCD$$为矩形；③ 若$$M$$是$$\triangle ABC$$所在平面内一点，且$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$，则点$$M$$为$$\triangle ABC$$的重心；④ 若$$P$$是$$\triangle ABC$$所在平面内一点，且$$|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{PC}|$$，则点$$P$$为$$\triangle ABC$$的内心。
① 正确；② 仅得对角线垂直，不一定矩形；③ 正确；④ 应为外心。正确命题个数为2，故选B。
8. 已知$$O, N, P$$在所在$$\triangle ABC$$的平面内，且$$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$$，$$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$$，且$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PC}$$，则$$O, N, P$$分别是$$\triangle ABC$$的（ ）。
$$O$$满足到顶点距离相等，为外心；$$N$$满足向量和为零，为重心；$$P$$满足点积相等，可推得为垂心。故选C。
9. 已知椭圆$$C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$$，$$F_1, F_2$$为其左、右焦点，$$P$$为椭圆$$C$$上除长轴端点外的任一点，$$G$$为$$\triangle F_1 P F_2$$内一点，满足$$3 \overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}$$，$$\triangle F_1 P F_2$$的内心为$$I$$，且有$$\overrightarrow{IG}=\lambda \overrightarrow{F_1 F_2}$$，则椭圆$$C$$的离心率$$e$$等于（ ）。
由$$3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}$$，得$$G$$为重心。内心$$I$$与重心$$G$$连线平行于$$F_1F_2$$，可推得离心率$$e=\frac{1}{2}$$，故选B。
10. 设$$PH \perp$$平面$$ABC$$，且$$PA, PB, PC$$均相等，则$$H$$是$$\triangle ABC$$的（ ）。
由$$PH \perp$$平面，且$$PA=PB=PC$$，则$$HA=HB=HC$$，即$$H$$为外心，故选B。