解三角形中的最值（范围）问题-平面向量的拓展与综合知识点课后进阶选择题自测题解析-青海省等高二数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{b} {c}=\frac{\operatorname{c o s} A} {1+\operatorname{c o s} C}，$$则$$\operatorname{s i n} \， ( 2 A+\frac{\pi} {6} )$$的取值范围是（）

A.$$( \mathrm{\Pi-\frac{1} {2}， \ \frac{1} {2}} )$$

B.$$\varsigma-\frac{1} {2}， \ 1 ]$$

C.$$( \; \frac{1} {2}， \; 1 ]$$

D.$$[-1， ~ \frac{1} {2} )$$

2、['正切（型）函数的单调性'， '正弦定理及其应用'， '正切（型）函数的定义域与值域'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%的三个内角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是

3、['解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%设锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$\mathrm{c o s} B+\sqrt{3} \mathrm{s i n} B=2， \， \， \， c=2，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的取值范围为（）

A.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 4 \sqrt{3} \right)$$

B.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ 2 \sqrt{3} \right)$$

C.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {4}， ~ \sqrt{3} \right)$$

D.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {8}， \ \frac{\sqrt{3}} {4} \right)$$

4、['解三角形中的最值（范围）问题'， '直线的斜率']

正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$$A (-1， 0 )， \， \， \， B ( 1， 0 )， \， \， \， C ( 0， 1 )$$，经过原点的直线$${{l}}$$将$${{△}{A}{B}{C}}$$分成左$${、}$$右两部分，记左$${、}$$右两部分的面积分别为$${{S}_{1}{、}{{S}_{2}}}$$，则$$\frac{( 1+S_{1} )^{2}} {1-S_{2}^{2}}$$取得最小值时，直线$${{l}}$$的斜率$${{(}{)}}$$

A.等于$${{1}}$$

B.等于$${{−}{1}}$$

C.等于$$\frac{1} {2}$$

D.不存在

5、['解三角形中的最值（范围）问题']

正确率60.0%在$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$所对的边分别为$$a， b， c$$，已知$$B=6 0^{\circ}， b=4$$，则$${{△}}$$$${{A}{B}{C}}$$面积的最大值为（）

A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{5}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{6}}$$

6、['余弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '等比数列的定义与证明'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边$$a， ~ b， ~ c$$成等比数列，则角$${{B}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{\pi} {3}， \pi)$$

B.$$[ \frac{\pi} {6}， \pi)$$

C.$$( 0， \frac{\pi} {3} ]$$

D.$$( 0， \frac{\pi} {6} ]$$

7、['余弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别是$$a， ~ b， ~ c$$.已知$${\frac{b} {c}} \operatorname{c o s} C+{\frac{b} {a}} \operatorname{c o s} A=1，$$则$${{c}{o}{s}{B}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

8、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边为$$a， ~ b， ~ c$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$- \frac{\sqrt{3}} {4} ( a^{2}+c^{2}-b^{2} )， \， \， b=2 \sqrt{3}$$，则$${{a}{+}{c}}$$的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['余弦定理及其应用'， '椭圆的定义'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B+A C=8， \， \， \， B C=4， \， \， \， D$$为$${{B}{C}}$$的中点，当$${{A}{D}}$$长度最小时，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '解三角形中的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$三个内角$$A. ~ B. ~ C$$的对边，且$$\frac{\operatorname{s i n} A-\operatorname{s i n} B} {\operatorname{s i n} C} \geqslant\frac{c-b} {a+b}$$，则（）

A.$${{A}}$$的最大值为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$${{A}}$$的最小值为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$${{A}}$$的最大值为$$\frac{\pi} {3}$$

D.$${{A}}$$的最小值为$$\frac{\pi} {3}$$

1. 解析：

根据题意，已知 $$\frac{b}{c} = \frac{\cos A}{1 + \cos C}$$。由正弦定理得： $$ \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\cos A}{1 + \cos C} $$ 利用正弦定理和余弦定理，化简得： $$ \sin B (1 + \cos C) = \sin C \cos A $$ 进一步化简并结合三角恒等式，可以得到： $$ A + C = \frac{2\pi}{3} $$ 因为 $$A + B + C = \pi$$，所以 $$B = \frac{\pi}{3}$$。因此，$$2A + \frac{\pi}{6}$$ 的范围为 $$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)$$，$$\sin\left(2A + \frac{\pi}{6}\right)$$ 的取值范围是 $$\left(-\frac{1}{2}, 1\right]$$。故选 B。

2. 解析：

题目描述不完整，无法解析。

3. 解析：

由 $$\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$$，化简得： $$ 2 \sin\left(B + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \Rightarrow \sin\left(B + \frac{\pi}{6}\right) = 1 $$ 因此，$$B = \frac{\pi}{3}$$。由正弦定理，$$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{2 \sin A}{\sin C}$$。面积为： $$ S = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sin A}{\sin C} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin A}{\sin C} $$ 由于 $$A + C = \frac{2\pi}{3}$$，且三角形为锐角三角形，$$A \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$$。代入化简后，面积范围为 $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}\right)$$。故选 B。

4. 解析：

直线 $$l$$ 经过原点，设斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx$$。计算与三角形 $$ABC$$ 的交点，分为两种情况：

直线与 $$AC$$ 相交：$$S_1$$ 为左侧面积，$$S_2$$ 为右侧面积。
直线与 $$BC$$ 相交：类似计算。

通过几何分析，当 $$k = 1$$ 时，$$\frac{(1 + S_1)^2}{1 - S_2^2}$$ 取得最小值。故选 A。

5. 解析：

由余弦定理和面积公式： $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \Rightarrow 16 = a^2 + c^2 - ac $$ 面积 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{\sqrt{3}}{4} ac$$。由不等式 $$a^2 + c^2 \geq 2ac$$，得： $$ 16 \geq 2ac - ac = ac \Rightarrow ac \leq 16 $$ 因此，面积最大值为 $$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$$。故选 B。

6. 解析：

设 $$a, b, c$$ 成等比数列，公比为 $$q$$，则 $$b^2 = ac$$。由余弦定理： $$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - ac}{2ac} \geq \frac{2ac - ac}{2ac} = \frac{1}{2} $$ 因此，$$B \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right]$$。故选 C。

7. 解析：

由题意： $$ \frac{b}{c} \cos C + \frac{b}{a} \cos A = 1 $$ 利用正弦定理和余弦定理化简，最终得到： $$ \cos B \geq \frac{1}{3} $$ 因此，$$\cos B$$ 的最小值为 $$\frac{1}{3}$$。故选 B。

8. 解析：

由面积公式和余弦定理： $$ S = \frac{1}{2} ac \sin B = -\frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + c^2 - b^2) $$ 结合余弦定理 $$a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$$，代入得： $$ \frac{1}{2} ac \sin B = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2ac \cos B \Rightarrow \tan B = -\sqrt{3} $$ 因此，$$B = \frac{2\pi}{3}$$。由正弦定理，$$a + c = 2R (\sin A + \sin C)$$，利用 $$A + C = \frac{\pi}{3}$$ 化简，最大值为 4。故选 D。

9. 解析：

设 $$AB = x$$，$$AC = 8 - x$$，$$D$$ 为 $$BC$$ 中点。由中线公式： $$ AD^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} = \frac{2x^2 + 2(8 - x)^2 - 16}{4} $$ 化简后求最小值，当 $$x = 4$$ 时，$$AD$$ 最小。此时三角形为等腰三角形，面积为 $$4\sqrt{3}$$。故选 D。

10. 解析：

由正弦定理和不等式化简： $$ \frac{a - b}{c} \geq \frac{c - b}{a + b} $$ 进一步化简并结合余弦定理，可得： $$ \cos A \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow A \leq \frac{\pi}{6} $$ 因此，$$A$$ 的最大值为 $$\frac{\pi}{6}$$。故选 A。

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