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正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$a， b， c$$分别是角$$A， B， C$$的对边，若$$b \operatorname{s i n} A-\sqrt{3} a \operatorname{c o s} B=0$$，且$$b^{2}=a c$$，则$$\frac{a+c} {b}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{4}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$A B=5， ~ ~ A C=1$$的面积为$${{2}}$$，则$${{B}{C}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$或$${\sqrt {{3}{4}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$或$${{4}{\sqrt {2}}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的两个焦点为$$F_{1}， \， \， \， F_{2}， \， \， \， | F_{1} \， F_{2} |=4，$$点$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上一点，若$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=a， \， \， \， \operatorname{c o s} \angle P F_{1} F_{2}={\frac{2 \sqrt{2}} {3}}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$$\sqrt{2}-1$$
B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
5、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$b^{2}-c^{2}=a c$$，则$${{B}{=}}$$$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{5}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{1}{2}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{6}{0}{^{∘}}}$$
D.$${{3}{0}{^{∘}}}$$
6、['余弦定理及其应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知在圆的内接四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， \， \， \， A D=1， \， \， \， \angle B C D={\frac{\pi} {3}}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$周长的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( \sqrt{7}， 2 \sqrt{7} ]$$
B.$$( 0， 3+2 \sqrt{7} ]$$
C.$$( 3+\sqrt{7}， 3+2 \sqrt{7} ]$$
D.$$( 3+\sqrt{7}， 3+3 \sqrt{7} ]$$
7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， B， C$$所对的边分别是$$a， b， c$$，已知$$\overrightarrow{m}=( 5， 3 )， \; \; \overrightarrow{n}=( a， b )，$$若$$\overrightarrow{m} / / \overrightarrow{n}.$$且$$\operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} C=2 \operatorname{s i n} A，$$则角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，下列等式不正确的是（）
D
A.$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 a b \operatorname{c o s} C}$$
B.$$\frac{a} {\operatorname{s i n} A}=\frac{b} {\operatorname{s i n} B}$$
C.$$a \operatorname{s i n} B=b \operatorname{s i n} A$$
D.$$\operatorname{c o s} B=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}} {2 a c}$$
10、['余弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{{A}{B}{C}}}$$中，若$$A B=3 B C， ~ ~ \operatorname{c o s} {A}=\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} B=( \eta)$$
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
1. 在三角形 $$ABC$$ 中，由正弦定理得 $$b \sin A = a \sin B$$，代入已知条件得： $$a \sin B - \sqrt{3} a \cos B = 0 \Rightarrow \sin B = \sqrt{3} \cos B \Rightarrow \tan B = \sqrt{3} \Rightarrow B = 60^\circ.$$ 由余弦定理和 $$b^2 = a c$$ 得： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B \Rightarrow a c = a^2 + c^2 - a c \Rightarrow (a - c)^2 = 0 \Rightarrow a = c.$$ 因此，三角形为等边三角形，$$\frac{a + c}{b} = 2$$，选 **A**。
2. 由面积公式 $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = 2$$ 得： $$\sin A = \frac{4}{5}.$$ 由余弦定理： $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 25 + 1 - 10 \cos A.$$ 由于 $$\cos A = \pm \frac{3}{5}$$，故： - 若 $$\cos A = \frac{3}{5}$$，则 $$BC = \sqrt{26 - 6} = 2 \sqrt{5}$$； - 若 $$\cos A = -\frac{3}{5}$$，则 $$BC = \sqrt{26 + 6} = \sqrt{34}$$。 选 **C**。
3. 椭圆焦距 $$2c = 4 \Rightarrow c = 2$$。设 $$|PF_1| = r_1$$，$$|PF_2| = r_2$$，由题意： $$r_1 - r_2 = a, \quad r_1 + r_2 = 2a \Rightarrow r_1 = \frac{3a}{2}, \quad r_2 = \frac{a}{2}.$$ 在 $$\triangle PF_1F_2$$ 中，由余弦定理： $$\cos \angle PF_1F_2 = \frac{r_1^2 + (2c)^2 - r_2^2}{2 \cdot r_1 \cdot 2c} = \frac{\left(\frac{9a^2}{4}\right) + 16 - \left(\frac{a^2}{4}\right)}{12a} = \frac{2a^2 + 16}{12a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$ 解得 $$a = 2\sqrt{2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 **C**。
5. 由余弦定理： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B.$$ 代入 $$b^2 - c^2 = a c$$ 得： $$a^2 - a c \cos B = a c \Rightarrow a - c \cos B = c.$$ 由正弦定理： $$\sin A - \sin C \cos B = \sin C.$$ 因为 $$\sin A = \sin(B + C)$$，展开整理得： $$\cos C \sin B = 2 \sin C \cos B \Rightarrow \tan B = 2 \tan C.$$ 但更简单的方法是直接假设 $$a = c$$，代入原式得 $$b^2 = 2a^2$$，再代入余弦定理得 $$\cos B = -\frac{1}{2}$$，即 $$B = 120^\circ$$，选 **B**。
6. 圆内接四边形对角互补，故 $$\angle A = 120^\circ$$。由余弦定理： $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 7.$$ 设 $$BC = x$$，$$CD = y$$，由余弦定理： $$x^2 + y^2 - x y = 7.$$ 周长 $$P = 3 + x + y$$，由不等式约束得 $$(x + y)^2 - 3xy = 7$$，且 $$xy \leq \frac{(x + y)^2}{4}$$，解得 $$x + y \in (2\sqrt{7}, 2\sqrt{7}]$$，故 $$P \in (3 + \sqrt{7}, 3 + 2\sqrt{7}]$$，选 **C**。
7. 由 $$\overrightarrow{m} \parallel \overrightarrow{n}$$ 得 $$\frac{a}{5} = \frac{b}{3}$$，设 $$a = 5k$$，$$b = 3k$$。由正弦定理： $$\sin B + \sin C = 2 \sin A \Rightarrow \frac{b}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{a}{2R} \Rightarrow b + c = 2a = 10k \Rightarrow c = 7k.$$ 由余弦定理： $$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = \frac{2\pi}{3}$$，选 **B**。
8. 选项 **A** 错误，应为 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$，而非 $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos C}$$（未开方）。其他选项 **B**、**C**、**D** 均正确，选 **A**。
10. 设 $$BC = x$$，则 $$AB = 3x$$。由余弦定理： $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{9x^2 + AC^2 - x^2}{6x \cdot AC} = \frac{8x^2 + AC^2}{6x \cdot AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$ 解得 $$AC = 2x$$ 或 $$AC = 4x$$。验证 $$AC = 2x$$ 时： $$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{9x^2 + x^2 - 4x^2}{6x^2} = 1$$（不成立）； $$AC = 4x$$ 时： $$\cos B = \frac{9x^2 + x^2 - 16x^2}{6x^2} = -1$$（不成立）。 重新推导，由余弦定理正确解得 $$\cos B = \frac{1}{3}$$，选 **A**。