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正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$且$$3 a \mathrm{c o s} C=4 c \mathrm{s i n} A，$$已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于$$1 0， ~ b=4，$$则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{2 3} {3}$$
B.$$\frac{2 8} {3}$$
C.$$\frac{2 6} {3}$$
D.$$\frac{2 5} {3}$$
2、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{△}{{A}{B}{C}}}$$中，角$$A， B， C$$所对的边分别为$$a， b， c， \ S$$表示$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的面积，若$$c \operatorname{c o s} B+b \operatorname{c o s} C=a \operatorname{s i n} A， S=\frac{\sqrt{3}} {4} \left( b^{2}+a^{2}-c^{2} \right)$$，则
）
B
A.$${{9}{0}{^{∘}}}$$
B.$${{3}{0}{^{∘}}}$$
C.$${{4}{5}{^{∘}}}$$
D.$${{6}{0}{^{∘}}}$$
3、['正弦定理及其应用'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$$2 ~ ( \operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} B ) ~={\frac{\operatorname{t a n} A} {\operatorname{c o s} B}}+{\frac{\operatorname{t a n} B} {\operatorname{c o s} A}}$$，则以下
D
A.$$a+b=c$$
B.$$2 a+b=c$$
C.$$a+2 b=c$$
D.$$a+b=2 c$$
4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理应用举例']正确率40.0%svg异常
C
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
5、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率60.0%若$${{△}{A}{B}{C}}$$中，满足$$\operatorname{s i n}^{2} C > \operatorname{s i n}^{2} A+\operatorname{s i n}^{2} B$$，则该三角形的形状是
A
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
6、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对应的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$\operatorname{s i n} A=\operatorname{s i n} C$$，且$$\operatorname{s i n} B=\sqrt{3} \mathrm{c o s} B$$，则$$\bigtriangleup A B C ($$)
A
A.是等边三角形
B.是直角三角形
C.是钝角三角形
D.形状不确定
7、['正弦定理及其应用'， '三角形解的个数问题']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=4 0， \; b=5 0， \; \angle A=\frac{\pi} {6}$$，则$${{∠}{B}}$$的解的个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.不能确定
8、['正弦定理及其应用']正确率40.0%已知锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$$S=\frac{\sqrt{3} c^{2} \operatorname{s i n} A} {4 \operatorname{s i n} C}$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 A-C )$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-1， 1 )$$
B.$$(-\frac{1} {2}， 1 ]$$
C.$$(-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} )$$
D.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} )$$
9、['正弦定理及其应用']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，则“$$\frac{a} {b}=\frac{\operatorname{c o s} B} {\operatorname{c o s} A}$$”是“$${{△}{A}{B}{C}}$$是等腰三角形”的$${{(}{)}}$$
D
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['正弦定理及其应用']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边长分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$${{a}{=}{{1}{5}}}$$，$${{b}{=}{{2}{4}}}$$，$${{A}{=}{{6}{0}}{°}}$$，则这样的三角形解的个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.不确定
1. 题目解析：
已知$$3a \cos C = 4c \sin A$$，根据正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$，可得$$c = \frac{a \sin C}{\sin A}$$。
代入原式得：$$3a \cos C = 4 \times \frac{a \sin C}{\sin A} \times \sin A$$，化简得$$3 \cos C = 4 \sin C$$，即$$\tan C = \frac{3}{4}$$。
面积公式$$S = \frac{1}{2}ab \sin C = 10$$，已知$$b = 4$$，代入得$$\frac{1}{2} \times a \times 4 \times \frac{3}{5} = 10$$（因为$$\sin C = \frac{3}{5}$$）。
解得$$a = \frac{25}{3}$$，故选D。
2. 题目解析：
由余弦定理，$$c \cos B + b \cos C = a$$，与题目条件$$c \cos B + b \cos C = a \sin A$$联立得$$\sin A = 1$$，即$$A = 90^\circ$$。
面积公式$$S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{\sqrt{3}}{4}(b^2 + a^2 - c^2)$$，由勾股定理$$a^2 + b^2 = c^2$$，代入得$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2b^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}b^2$$。
又$$S = \frac{1}{2}ab \sin C$$，且$$a = c \cos B$$，$$b = c \cos A$$，代入得$$\sin C = \sqrt{3} \cos C$$，即$$\tan C = \sqrt{3}$$，$$C = 60^\circ$$。
故选D。
3. 题目解析：
将$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$和$$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}$$代入原式，化简得：
$$2(\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B}) = \frac{\sin A}{\cos A \cos B} + \frac{\sin B}{\cos A \cos B}$$。
整理得：$$2(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = \sin A + \sin B$$，即$$2 \sin(A + B) = \sin A + \sin B$$。
在三角形中$$A + B = \pi - C$$，故$$2 \sin C = \sin A + \sin B$$。
由正弦定理得$$2c = a + b$$，即$$a + b = 2c$$，故选D。
5. 题目解析：
由正弦定理，$$\sin^2 C > \sin^2 A + \sin^2 B$$等价于$$c^2 > a^2 + b^2$$。
根据余弦定理，$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$，代入得$$a^2 + b^2 - 2ab \cos C > a^2 + b^2$$，即$$\cos C < 0$$。
故角$$C$$为钝角，三角形为钝角三角形，选A。
6. 题目解析：
由$$\sin A = \sin C$$，得$$A = C$$或$$A = \pi - C$$（舍去，因为$$A + C < \pi$$）。
故$$A = C$$，三角形为等腰三角形。
由$$\sin B = \sqrt{3} \cos B$$，得$$\tan B = \sqrt{3}$$，即$$B = 60^\circ$$。
因此$$A = C = 60^\circ$$，三角形为等边三角形，选A。
7. 题目解析：
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即$$\frac{40}{\frac{1}{2}} = \frac{50}{\sin B}$$，得$$\sin B = \frac{5}{8}$$。
因为$$\sin B = \frac{5}{8}$$在$$(0, \pi)$$上有两个解（一个锐角一个钝角），但需满足$$A + B < \pi$$。
验证得两个解均满足，故选C。
8. 题目解析：
面积公式$$S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{\sqrt{3} c^2 \sin A}{4 \sin C}$$，化简得$$ab = \frac{\sqrt{3} c^2 \sin A}{2 \sin^2 C}$$。
由正弦定理$$c = 2R \sin C$$，代入得$$ab = \frac{\sqrt{3} \times 4R^2 \sin^2 C \sin A}{2 \sin^2 C} = 2\sqrt{3} R^2 \sin A$$。
又$$ab = 4R^2 \sin A \sin B$$，故$$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，即$$B = 60^\circ$$。
因为三角形为锐角三角形，故$$A \in (30^\circ, 90^\circ)$$。
$$\sin(2A - C) = \sin(2A - (120^\circ - A)) = \sin(3A - 120^\circ)$$，其取值范围为$$(-\frac{1}{2}, 1)$$，选B。
9. 题目解析：
由$$\frac{a}{b} = \frac{\cos B}{\cos A}$$，结合正弦定理得$$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A}$$，即$$\sin A \cos A = \sin B \cos B$$。
化简得$$\sin 2A = \sin 2B$$，故$$2A = 2B$$或$$2A = \pi - 2B$$。
即$$A = B$$或$$A + B = \frac{\pi}{2}$$。
前者为等腰三角形，后者为直角三角形，故条件是充分不必要条件，选A。
10. 题目解析：
由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即$$\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sin B}$$，得$$\sin B = \frac{24 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{15} = \frac{4\sqrt{3}}{5}$$。
因为$$\frac{4\sqrt{3}}{5} > 1$$无解，故三角形不存在，选C。