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正确率60.0%若$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且满足$$| \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} |=| \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} |，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
4、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率40.0%设$${{A}{B}{C}{D}}$$为平行四边形，$$\vert\overrightarrow{A B} \vert=4， \vert\overrightarrow{A D} \vert=6， \quad\angle B A D=\frac{\pi} {2}$$，若点$${{M}{，}{N}}$$满足$$\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M C}， \quad\overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N D}$$$${{.}}$$则$$\overrightarrow{N M} \cdot\overrightarrow{A M}=$$（）
B
A.$${{2}{3}}$$
B.$${{1}{7}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{9}}$$
5、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知$${{O}}$$是平面上一定点，$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$是平面上不共线的三个点，动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} ) ( \lambda\in[ 0，+\infty) )，$$则点$${{P}}$$的轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
B
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
6、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率80.0%已知$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是不共线的非零向量，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是$${{(}{)}}$$
A
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
7、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%下列各组向量中，可以作为基底的是（）
C
A.$$\overrightarrow{e}_{1}=( 0， \ 0 )， \ \overrightarrow{e}_{2}=(-2， \ 1 )$$
B.$$\overrightarrow{e}_{1}=( 4， \ 6 )， \ \overrightarrow{e}_{2}=( 6， \ 9 )$$
C.$$\overrightarrow{e}_{1}=( 2， ~-5 )， ~ \overrightarrow{e}_{2}=(-6， ~ 4 )$$
D.$$\overrightarrow{e}_{1}=( 2， ~-3 )， ~ ~ \overrightarrow{e}_{2}=( \frac{1} {2}， ~-\frac{3} {4} )$$
9、['向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知甲船在海岛$${{B}}$$的正南方向相距$${{1}{0}}$$海里的$${{A}}$$处，甲船以每小时$${{4}}$$海里的速度向正北方向航行，同时乙船自海岛$${{B}}$$出发以每小时$${{6}}$$海里的速度向北偏东$${{6}{0}^{∘}}$$的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的
（）
C
A.北偏东$${{3}{0}^{∘}}$$方向
B.北偏东$${{1}{5}^{∘}}$$方向
C.南偏西$${{3}{0}^{∘}}$$方向
D.南偏西$${{1}{5}^{∘}}$$方向
1、解析：
给定向量条件 $$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}|$$。
设 $$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$$，则条件化为 $$|\mathbf{b} - \mathbf{c}| = |\mathbf{b} + \mathbf{c} - 2\mathbf{a}|$$。
两边平方得：
$$(\mathbf{b} - \mathbf{c})^2 = (\mathbf{b} + \mathbf{c} - 2\mathbf{a})^2$$
展开化简：
$$\mathbf{b}^2 - 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c}^2 = \mathbf{b}^2 + \mathbf{c}^2 + 4\mathbf{a}^2 + 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$$
消去相同项并整理：
$$-4\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 4\mathbf{a}^2 - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$$
进一步化简：
$$\mathbf{a}^2 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 0$$
这可以表示为：
$$(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{c}) = 0$$
即 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$$，说明 $$BA$$ 与 $$CA$$ 垂直，故 $$△ABC$$ 为直角三角形，直角在 $$A$$。
答案：B.直角三角形
4、解析：
建立坐标系，设 $$A$$ 为原点 $$(0, 0)$$，$$AB$$ 沿 $$x$$ 轴，$$AD$$ 沿 $$y$$ 轴。
则 $$B = (4, 0)$$，$$D = (0, 6)$$，$$C = (4, 6)$$。
由条件：
$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$$，故 $$M$$ 是 $$BC$$ 的中点，坐标为 $$(4, 3)$$。
$$\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{ND}$$，故 $$N$$ 分 $$AD$$ 为 $$1:2$$，坐标为 $$(0, 4)$$。
计算向量：
$$\overrightarrow{NM} = (4 - 0, 3 - 4) = (4, -1)$$
$$\overrightarrow{AM} = (4 - 0, 3 - 0) = (4, 3)$$
点积：
$$\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{AM} = 4 \times 4 + (-1) \times 3 = 16 - 3 = 13$$
但选项中没有 13，重新检查计算：
实际上，$$\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{ND}$$ 表示 $$N$$ 分 $$AD$$ 为 $$2:1$$，故 $$N = (0, 4)$$ 是正确的。
点积计算无误，可能是题目选项有误，但最接近的是 D.9（可能有其他理解方式）。
答案：D.9
5、解析：
动点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$$。
注意到 $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$$ 和 $$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ 分别是 $$AB$$ 和 $$AC$$ 方向的单位向量，它们的和向量位于角 $$A$$ 的平分线方向。
因此，点 $$P$$ 的轨迹沿角 $$A$$ 的平分线移动，必然通过三角形的内心。
答案：B.内心
6、解析：
给定向量：
$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b}$$
$$\overrightarrow{BC} = 3\mathbf{a} - \mathbf{b}$$
$$\overrightarrow{CD} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}$$
计算 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\mathbf{a} + 2\mathbf{b}) + (3\mathbf{a} - \mathbf{b}) + (2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}) = 6\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$$。
检查 $$\overrightarrow{AD}$$ 是否与 $$\overrightarrow{BC}$$ 平行：
$$\overrightarrow{BC} = 3\mathbf{a} - \mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{AD} = 6\mathbf{a} - 2\mathbf{b} = 2(3\mathbf{a} - \mathbf{b})$$，故 $$\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$$。
但 $$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b}$$ 与 $$\overrightarrow{CD} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}$$ 不平行（不存在 $$k$$ 使 $$\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = k(2\mathbf{a} - 3\mathbf{b})$$），因此 $$ABCD$$ 是梯形。
答案：A.梯形
7、解析：
基底要求两个向量不共线（非零且线性无关）。
A: $$\mathbf{e}_1 = (0, 0)$$ 为零向量，不能作为基底。
B: $$\mathbf{e}_1 = (4, 6)$$，$$\mathbf{e}_2 = (6, 9)$$，存在 $$k = 1.5$$ 使 $$\mathbf{e}_2 = 1.5\mathbf{e}_1$$，共线。
C: $$\mathbf{e}_1 = (2, -5)$$，$$\mathbf{e}_2 = (-6, 4)$$，不存在 $$k$$ 使 $$\mathbf{e}_2 = k\mathbf{e}_1$$，不共线。
D: $$\mathbf{e}_1 = (2, -3)$$，$$\mathbf{e}_2 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$$，存在 $$k = \frac{1}{4}$$ 使 $$\mathbf{e}_2 = \frac{1}{4}\mathbf{e}_1$$，共线。
答案：C
9、解析：
航行一小时后：
甲船从 $$A$$ 向北航行 4 海里，到达点 $$C$$，坐标为 $$(0, 4)$$（设 $$B$$ 为原点）。
乙船从 $$B$$ 出发，向北偏东 $$60^\circ$$ 航行 6 海里，到达点 $$D$$，坐标为 $$(6 \cos 60^\circ, 6 \sin 60^\circ) = (3, 3\sqrt{3})$$。
初始时 $$A$$ 在 $$B$$ 正南 10 海里，坐标为 $$(0, -10)$$。
此时甲船在 $$C$$，坐标为 $$(0, -10 + 4) = (0, -6)$$。
向量 $$\overrightarrow{CD} = (3 - 0, 3\sqrt{3} - (-6)) = (3, 3\sqrt{3} + 6)$$。
计算方向角 $$\theta$$：
$$\tan \theta = \frac{3}{3\sqrt{3} + 6} = \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$$，约为 $$15^\circ$$。
因此，甲船 $$C$$ 相对于乙船 $$D$$ 的方位是南偏西 $$15^\circ$$。
答案：D.南偏西$$15^\circ$$方向