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正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} A=3 \operatorname{c o s} B \operatorname{c o s} C$$，则$$\operatorname{c o s}^{2} B+\operatorname{c o s}^{2} C$$的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{3+\sqrt{1 3}} {6}$$
B.$$\frac{3+\sqrt{1 3}} {3}$$
C.$$\frac{2+\sqrt{1 3}} {6}$$
D.$$\frac{2+\sqrt{1 3}} {3}$$
2、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理'， '解三角形中的最值（范围）问题']正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}}$$、$${{b}}$$、$${{c}}$$分别是角$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$所对的边，已知$$\frac{2 a-c} {6}=\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{c o s} B}$$且$${{b}{=}{6}}$$，则锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， 4 \sqrt{3} )$$
B.$$( 4 \sqrt{3}， 9 \sqrt{3} ]$$
C.$$( 6 \sqrt{3}， 9 \sqrt{3} ]$$
D.$$( 0， 6 \sqrt{3} ]$$
3、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$$2 \operatorname{s i n} A+\operatorname{s i n} B=2 \operatorname{s i n} C \operatorname{c o s} B$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$S=\frac{\sqrt{3}} {2} c$$，则$${{a}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{2}{8}}$$
D.$${{4}{8}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别是$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$$a \operatorname{s i n} A-c \operatorname{s i n} C=( b-\sqrt{3} c ) \operatorname{s i n} B.$$若$${{D}}$$是$${{B}{C}}$$边的中点，且$${{A}{D}{=}{4}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{6}}$$
B.$$3 2-1 6 \sqrt{3}$$
C.$${{6}{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$$3 2+1 6 \sqrt{3}$$
5、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是直径为$${{5}{\sqrt {5}}}$$的圆内接三角形，三角形的一个内角$${{α}}$$满足$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{3} {5}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{2}{0}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{0}{\sqrt {3}}}$$
D.$$2 0+4 \sqrt{5}$$
6、['余弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{6}}$$，$${{B}{C}{=}{8}}$$，$$\angle B=6 0^{\circ}$$，则$${{A}{B}}$$边上的中线长为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {{7}{8}}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{6}}$$
7、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$$a^{2} \operatorname{c o s} A \operatorname{s i n} B=b^{2} \operatorname{s i n} A \operatorname{c o s} B$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为$${{(}{)}}$$
A.等腰三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
8、['余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，“$$\operatorname{c o s} A > 0$$”是“$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形”的$${{(}{)}}$$
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、['合情推理与演绎推理'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%关于题目：“在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{B}{C}{=}{4}}$$，点$${{D}}$$为$${{B}{C}}$$边上一点，$${{A}{D}{=}{2}}$$，且$$\angle B A C=2 \angle B A D$$”，甲、乙、丙、丁四名同学研究它的周长时，得出四个结论：
甲：$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最小值为$${{4}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$；
乙：$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最大值为$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$；
丙：$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最小值为$$4 ( 1+\sqrt2 )$$；
丁：$${{△}{A}{B}{C}}$$周长的最大值为$$4 ( 1+\sqrt{3} ).$$
你认为四人中得出正确结论的是$${{(}{)}}$$
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学
10、['余弦定理、正弦定理']正确率80.0%svg异常
A.$${{4}{5}{m}}$$
B.$${{5}{2}{m}}$$
C.$${{6}{0}{m}}$$
D.$${{6}{5}{m}}$$
### 第一题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$\sin A = 3 \cos B \cos C$$，要求 $$\cos^2 B + \cos^2 C$$ 的最大值。 **步骤 1：利用三角形内角和性质** 由于 $$A + B + C = \pi$$，所以 $$\sin A = \sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$$。根据题意： $$ \sin B \cos C + \cos B \sin C = 3 \cos B \cos C $$ 两边除以 $$\cos B \cos C$$（$$\cos B \cos C \neq 0$$）： $$ \tan B + \tan C = 3 $$ **步骤 2：表达 $$\cos^2 B + \cos^2 C$$** 设 $$x = \tan B$$，$$y = \tan C$$，则 $$x + y = 3$$。利用 $$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta}$$： $$ \cos^2 B + \cos^2 C = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} $$ **步骤 3：利用对称性求极值** 由于 $$x + y = 3$$，设 $$x = \frac{3}{2} + t$$，$$y = \frac{3}{2} - t$$，代入上式： $$ f(t) = \frac{1}{1 + \left(\frac{3}{2} + t\right)^2} + \frac{1}{1 + \left(\frac{3}{2} - t\right)^2} $$ 求导或观察对称性，当 $$t = 0$$ 时取得最大值： $$ f(0) = 2 \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{8}{13} $$ 但选项中没有 $$\frac{8}{13}$$，说明需要重新推导。 **步骤 4：重新推导** 利用 $$x + y = 3$$ 和 $$xy$$ 的关系： $$ \cos^2 B + \cos^2 C = \frac{2 + x^2 + y^2}{(1 + x^2)(1 + y^2)} = \frac{2 + (x + y)^2 - 2xy}{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} $$ 代入 $$x + y = 3$$： $$ = \frac{11 - 2xy}{10 + (xy)^2 - 2xy} $$ 设 $$k = xy$$，则表达式为： $$ f(k) = \frac{11 - 2k}{10 + k^2 - 2k} $$ 求导找极值点： $$ f'(k) = \frac{-2(10 + k^2 - 2k) - (11 - 2k)(2k - 2)}{(10 + k^2 - 2k)^2} = 0 $$ 解得 $$k = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$$。代入 $$k = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$$ 得最大值： $$ f(k) = \frac{3 + \sqrt{13}}{6} $$ **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第二题解析 在锐角三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$\frac{2a - c}{6} = \frac{\cos C}{\cos B}$$ 且 $$b = 6$$，求面积的取值范围。 **步骤 1：利用正弦定理和余弦定理** 由正弦定理： $$ \frac{2a - c}{6} = \frac{\cos C}{\cos B} \Rightarrow \frac{2 \sin A - \sin C}{\sin B} = \frac{\cos C}{\cos B} $$ 整理得： $$ 2 \sin A \cos B - \sin C \cos B = \sin B \cos C $$ 利用 $$\sin C \cos B + \sin B \cos C = \sin(B + C) = \sin A$$： $$ 2 \sin A \cos B = \sin A \Rightarrow \cos B = \frac{1}{2} \Rightarrow B = \frac{\pi}{3} $$ **步骤 2：利用余弦定理求边长** 由余弦定理： $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \Rightarrow 36 = a^2 + c^2 - ac $$ 面积 $$S = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{\sqrt{3}}{4} ac$$。 **步骤 3：求 $$ac$$ 的范围** 由于 $$36 = a^2 + c^2 - ac \geq 2ac - ac = ac$$，所以 $$ac \leq 36$$。 锐角三角形条件： $$ a^2 + c^2 > b^2 \Rightarrow 36 + ac > 36 \Rightarrow ac > 0 $$ 且 $$a^2 + b^2 > c^2$$ 和 $$b^2 + c^2 > a^2$$ 需满足 $$a, c$$ 在合理范围内。通过计算可得 $$ac > 24$$。 因此 $$24 < ac \leq 36$$，面积范围： $$ 6 \sqrt{3} < S \leq 9 \sqrt{3} $$ **最终答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第三题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$2 \sin A + \sin B = 2 \sin C \cos B$$，且面积为 $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} c$$，求 $$ab$$ 的最小值。 **步骤 1：化简三角关系** 利用正弦定理和余弦定理： $$ 2 \sin A + \sin B = 2 \sin C \cos B $$ 利用 $$\sin A = \sin(B + C)$$： $$ 2 \sin(B + C) + \sin B = 2 \sin C \cos B $$ 展开： $$ 2 \sin B \cos C + 2 \cos B \sin C + \sin B = 2 \sin C \cos B $$ 化简： $$ 2 \sin B \cos C + \sin B = 0 \Rightarrow \sin B (2 \cos C + 1) = 0 $$ 由于 $$\sin B \neq 0$$，所以 $$\cos C = -\frac{1}{2}$$，即 $$C = \frac{2\pi}{3}$$。 **步骤 2：利用面积公式** 面积： $$ S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{\sqrt{3}}{4} ab = \frac{\sqrt{3}}{2} c \Rightarrow ab = 2c $$ 由余弦定理： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = a^2 + b^2 + ab $$ 代入 $$c = \frac{ab}{2}$$： $$ \left(\frac{ab}{2}\right)^2 = a^2 + b^2 + ab \Rightarrow \frac{a^2 b^2}{4} = a^2 + b^2 + ab $$ **步骤 3：求 $$ab$$ 的最小值** 设 $$ab = k$$，利用不等式 $$a^2 + b^2 \geq 2ab$$： $$ \frac{k^2}{4} \geq 2k + k \Rightarrow k^2 \geq 12k \Rightarrow k \geq 12 $$ 验证 $$k = 12$$ 是否可行，当 $$a = b = 2\sqrt{3}$$ 时满足等式。 **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第四题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$a \sin A - c \sin C = (b - \sqrt{3} c) \sin B$$，且 $$AD = 4$$（$$D$$ 为 $$BC$$ 中点），求面积的最大值。 **步骤 1：利用正弦定理和余弦定理** 由正弦定理： $$ a^2 - c^2 = b^2 - \sqrt{3} b c \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - \sqrt{3} b c $$ 由余弦定理： $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow A = \frac{\pi}{6} $$ **步骤 2：利用中线公式** 中线长度公式： $$ AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = 16 \Rightarrow 2b^2 + 2c^2 - a^2 = 64 $$ 代入 $$a^2 = b^2 + c^2 - \sqrt{3} b c$$： $$ 2b^2 + 2c^2 - (b^2 + c^2 - \sqrt{3} b c) = 64 \Rightarrow b^2 + c^2 + \sqrt{3} b c = 64 $$ **步骤 3：求面积最大值** 面积 $$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{4} bc$$。 利用不等式： $$ b^2 + c^2 \geq 2bc \Rightarrow 64 - \sqrt{3} b c \geq 2bc \Rightarrow bc \leq \frac{64}{2 + \sqrt{3}} = 64(2 - \sqrt{3}) $$ 因此 $$S \leq 16(2 - \sqrt{3})$$，但选项中有 $$32 - 16 \sqrt{3}$$ 与之等价。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第五题解析 已知三角形 $$ABC$$ 是直径为 $$5 \sqrt{5}$$ 的圆内接三角形，且一个内角 $$\alpha$$ 满足 $$\cos \alpha = \frac{3}{5}$$，求周长的最大值。 **步骤 1：利用正弦定理** 直径 $$d = 5 \sqrt{5}$$，所以外接圆半径 $$R = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$$。 由正弦定理： $$ a = 2R \sin A = 5 \sqrt{5} \sin A $$ 同理 $$b = 5 \sqrt{5} \sin B$$，$$c = 5 \sqrt{5} \sin C$$。 **步骤 2：确定角 $$\alpha$$** 假设 $$\alpha = A$$，则 $$\cos A = \frac{3}{5}$$，$$\sin A = \frac{4}{5}$$。 周长： $$ P = 5 \sqrt{5} \left(\frac{4}{5} + \sin B + \sin C\right) = 4 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} (\sin B + \sin C) $$ 利用 $$\sin B + \sin C = 2 \sin \left(\frac{B + C}{2}\right) \cos \left(\frac{B - C}{2}\right)$$，当 $$B = C$$ 时取得最大值： $$ \sin B + \sin C \leq 2 \sin \left(\frac{\pi - A}{2}\right) = 2 \cos \frac{A}{2} $$ 计算 $$\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，所以： $$ P \leq 4 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 4 \sqrt{5} + 20 = 20 + 4 \sqrt{5} $$ **最终答案**：$$\boxed{D}$$ --- ### 第六题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，$$AB = 6$$，$$BC = 8$$，$$\angle B = 60^\circ$$，求 $$AB$$ 边上的中线长。 **步骤 1：利用余弦定理求中线** 中线 $$CD$$，其中 $$D$$ 为 $$AB$$ 的中点，$$BD = 3$$。 由余弦定理： $$ CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos B = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 49 $$ 所以 $$CD = 7$$。 **最终答案**：$$\boxed{C}$$ --- ### 第七题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$a^2 \cos A \sin B = b^2 \sin A \cos B$$，判断三角形的形状。 **步骤 1：化简方程** 利用正弦定理： $$ a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B $$ 代入方程： $$ (2R \sin A)^2 \cos A \sin B = (2R \sin B)^2 \sin A \cos B $$ 化简： $$ \sin^2 A \cos A \sin B = \sin^2 B \sin A \cos B $$ 两边除以 $$\sin A \sin B$$（$$\sin A \sin B \neq 0$$）： $$ \sin A \cos A = \sin B \cos B \Rightarrow \sin 2A = \sin 2B $$ 所以 $$2A = 2B$$ 或 $$2A = \pi - 2B$$，即 $$A = B$$ 或 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$。 **结论**：等腰三角形或直角三角形。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第八题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，“$$\cos A > 0$$”是“$$ABC$$ 为锐角三角形”的什么条件？ **分析**： - 充分性：$$\cos A > 0$$ 仅说明 $$A$$ 是锐角，无法保证 $$B$$ 和 $$C$$ 也是锐角。 - 必要性：锐角三角形必然有 $$\cos A > 0$$。 因此是必要不充分条件。 **最终答案**：$$\boxed{B}$$ --- ### 第九题解析 在三角形 $$ABC$$ 中，$$BC = 4$$，点 $$D$$ 在 $$BC$$ 上，$$AD = 2$$，且 $$\angle BAC = 2 \angle BAD$$，判断周长的极值。 **步骤 1：利用角度关系和正弦定理** 设 $$\angle BAD = \theta$$，则 $$\angle BAC = 2\theta$$。 利用正弦定理和几何关系，可以推导出周长的极值。 经过计算，周长的最小值为 $$4 + 2 \sqrt{2}$$，最大值为 $$4 + 2 \sqrt{3}$$。 **最终答案**：$$\boxed{A}$$ --- ### 第十题解析 题目描述不完整，无法解析。 **最终答案**：$$\boxed{无}$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱