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正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边$$A B=4， ~ ~ A D=1$$，点$${{P}}$$为边$${{A}{B}}$$上一动点，则当$${{∠}{D}{P}{C}}$$最大时，线段$${{A}{P}}$$的长为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$或$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}{.}{5}}$$或$${{2}{.}{5}}$$
2、['共线向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内的动点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A C}+y \overrightarrow{A B}，$$且向量$$a=\left( x-\frac{1} {2}， \ y \right)$$与向量$$b=(-1， ~ 2 )$$共线，则动点$${{M}}$$的轨迹必经过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
A
A.重心
B.内心
C.外心
D.垂心
3、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率19.999999999999996%svg异常
D
A.$$\left[ \frac{1 1} {9}，+\infty\right)$$
B.$$[ \frac{1 1} {9}， \frac{1 3} {9} ]$$
C.$$\left[ \frac{1 3} {9}， \frac{6 1} {9} \right]$$
D.$$\left[ \frac{1 1} {9}， \frac{6 1} {9} \right]$$
4、['向量在几何中的应用举例'， '三角形的“四心”']正确率40.0%平面内$${{△}{A}{B}{C}}$$及一点$${{O}}$$满足$$\frac{\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}=\frac{\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |}，$$$$\frac{\overrightarrow{C O} \cdot\overrightarrow{C A}} {| \overrightarrow{C A} |}=\frac{\overrightarrow{C O} \cdot\overrightarrow{C B}} {| \overrightarrow{C B} |}，$$则点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
C
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
5、['数量积的运算律'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%已知$$a， b， c$$为平面内的非零向量，$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} |=\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=2，$$若$$( 2 c-a ) \cdot( c-b )=0，$$则$${{c}{⋅}{b}}$$的最大值是（）
B
A.$$\sqrt{7}+\sqrt{3}$$
B.$$\frac{5} {2}+\sqrt{3}$$
C.$$\frac{1 7} {4}$$
D.$$\frac{9} {4}$$
6、['向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle B C A=9 0^{\circ}， \， \， \， C A=C B=1， \， \， P$$为$${{A}{B}}$$边上异于$${{A}{，}{B}}$$的点，且$$\overrightarrow{B P}=\lambda\overrightarrow{B A}，$$若$$\overrightarrow{C P} \cdot\overrightarrow{A B} \geqslant\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， \ 1 )$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
7、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）
C
A.$$\overrightarrow{a}=( 0， \ 0 )， \ \overrightarrow{b}=( 2， \ 3 )$$
B.$$\overrightarrow{a}=(-1， \ 0 )， \ \overrightarrow{b}=(-2， \ 0 )$$
C.$$\overrightarrow{a}=( 3， \ 6 )， \ \overrightarrow{b}=( 2， \ 3 )$$
D.$$\overrightarrow{a}=(-1， \; 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-2， \; 4 )$$
8、['圆的定义与标准方程'， '向量的模'， '数量积的性质'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%设向量$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， \， \， | \overrightarrow{b} |=2， \， \， \， \overrightarrow{a} \cdot\， \overrightarrow{b}=0， \， \， \， \overrightarrow{c} \cdot( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}-\， \overrightarrow{c} )=0$$，则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的最大值等于（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$1+\frac{\sqrt{5}} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A D}=( 2， 8 )， \， \， \， \overrightarrow{A B}=(-3， 4 )$$，对角线$${{A}{C}}$$与$${{B}{D}}$$相交于点$${{M}}$$，则$$\overrightarrow{A M}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
B
A.$$(-\frac{1} {2}，-6 )$$
B.$$(-\frac{1} {2}， 6 )$$
C.$$(-\frac{1} {2}， 6 )$$$$D (-\frac{1} {2}， 6 )$$
10、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率80.0%已知$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$是不共线的非零向量，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是$${{(}{)}}$$
A
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
1. 设 $$AP = x$$，则 $$PB = 4 - x$$。利用向量法或几何性质，求 $$\angle DPC$$ 的最大值。通过求导或对称性分析可知，当 $$x = 2$$ 时，$$\angle DPC$$ 最大。因此，$$AP = 2$$，选 B。
2. 由题意，向量 $$\overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AB}$$，且向量 $$a = (x - \frac{1}{2}, y)$$ 与 $$b = (-1, 2)$$ 共线，故 $$2(x - \frac{1}{2}) = -y$$，即 $$2x + y = 1$$。代入 $$\overrightarrow{AM}$$ 的表达式，可知点 $$M$$ 的轨迹为直线，且经过三角形的重心，选 A。
3. 题目不完整，无法解析。
4. 由条件 $$\frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$，说明 $$O$$ 在 $$\angle A$$ 的角平分线上；同理，$$\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|} = \frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$$ 说明 $$O$$ 也在 $$\angle C$$ 的角平分线上。因此，$$O$$ 是三角形的内心，选 C。
5. 由 $$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2$$，可知 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 夹角为 $$60^\circ$$。设坐标系使 $$\boldsymbol{a} = (2, 0)$$，$$\boldsymbol{b} = (1, \sqrt{3})$$。由 $$(2\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) \cdot (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{b}) = 0$$，展开并配方可得 $$|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{d}| = r$$ 的形式，求 $$\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{b}$$ 的最大值为 $$\frac{17}{4}$$，选 C。
6. 在等腰直角三角形中，设 $$A(0, 0)$$，$$B(1, 1)$$，$$C(0, 1)$$。由 $$\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BA}$$，得 $$P(\lambda, \lambda)$$。代入不等式 $$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} \geq \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$$，化简得 $$\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right]$$，选 B。
7. 基底要求两个向量不共线。A 中 $$\overrightarrow{a}$$ 为零向量，B 中 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 共线，D 中 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 共线。只有 C 中 $$\overrightarrow{a} = (3, 6)$$ 和 $$\overrightarrow{b} = (2, 3)$$ 不共线，选 C。
8. 由 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，知 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 垂直。设 $$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (0, 2)$$。由 $$\overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) = 0$$，得 $$|\overrightarrow{c}|^2 = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$$。利用几何意义或不等式，$$|\overrightarrow{c}|$$ 的最大值为 $$1 + \sqrt{5}/2$$，选 C。
9. 在平行四边形中，对角线交点 $$M$$ 为中点。$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}((-3, 4) + (2, 8)) = \left(-\frac{1}{2}, 6\right)$$，选 B。
10. 计算 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) + (3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) + (2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = 6\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$$。由于 $$\overrightarrow{BC} = 3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$ 与 $$\overrightarrow{AD}$$ 不平行，且 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{CD}$$ 不平行，故为梯形，选 A。