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正确率40.0%如图，边长为$${{2}}$$的菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$的两条对角线相交于点$${{O}}$$，点$${{P}}$$在线段$${{B}{O}}$$上运动，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A O}=1$$，则$$\overrightarrow{A P \cdot P B}$$的最大值为 （）
$$None$$
B
A.$${{−}{3}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{B}{C}{A}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{C}{A}{=}{C}{B}{=}{1}{，}{P}}$$为$${{A}{B}}$$边上异于$${{A}{，}{B}}$$的点，且$$\overrightarrow{B P}=\lambda\overrightarrow{B A}，$$若$$\overrightarrow{C P} \cdot\overrightarrow{A B} \geqslant\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， \ 1 )$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
3、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%若$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}， \， \， \， \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$不共线，则$${{∠}{A}{O}{B}}$$平分线上的向量$$\overrightarrow{O M}$$为（）
D
A.$$\frac{\overrightarrow{a}} {| \overrightarrow{a} |}+\frac{\overrightarrow{b}} {| \overrightarrow{b} |}$$
B.$$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} {| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |}$$
C.$$\frac{| \overrightarrow{b} | \overrightarrow{a}-| \overrightarrow{a} | \overrightarrow{b}} {| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b} |}$$
D.$$\lambda( \frac{\vec{a}} {| \vec{a} |}+\frac{\vec{b}} {| \vec{b} |} )， \; \lambda$$由$$\overrightarrow{O M}$$确定
4、['两点间的距离'， '二次函数模型的应用'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%在直角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$是斜边$${{A}{C}}$$的中点，点$${{E}}$$为线段$${{B}{D}}$$上的一个动点，则$$\frac{\left| E A \right|^{2}+\left| E C \right|^{2}} {\left| E B \right|^{2}}$$的最小值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1 0} {9}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['向量在几何中的应用举例'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%下列各组向量中，可以作为基底的是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{e}{⃗}_{1}{=}{{(}{0}{，}{0}{)}}{，}{{e}{⃗}_{2}}{=}{{(}{1}{，}{−}{2}{)}}}$$
B.$${{e}{⃗}_{1}{=}{{(}{−}{1}{，}{0}{)}}{，}{{e}{⃗}_{2}}{=}{{(}{0}{，}{1}{)}}}$$
C.$${{e}{⃗}_{1}{=}{{(}{3}{，}{2}{)}}{，}{{e}{⃗}_{2}}{=}{{(}{6}{，}{4}{)}}}$$
D.$${{e}{⃗}_{1}{=}{{(}{2}{，}{−}{3}{)}}{，}{{e}{⃗}_{2}}{=}{{(}{−}{2}{，}{3}{)}}}$$
6、['共线向量基本定理'， '平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例']正确率80.0%若$$\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{C D}=-5 \overrightarrow{a}$$，且$$| \overrightarrow{A D} |=| \overrightarrow{B C} |$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是$${{(}{)}}$$
C
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.不等腰梯形
9、['向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内，满足$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=| \overrightarrow{O C} |$$，$$\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}$$，且$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P A}$$，则点$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$依次是$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
C
A.重心，外心，垂心
B.重心，外心，内心
C.外心，重心，垂心
D.外心，重心，内心
10、['向量在几何中的应用举例']正确率80.0%已知点P为△ABC内一点，且$$\overrightarrow{P A}$$+$$2 \overrightarrow{P B}$$+3$$\overrightarrow{P C}$$=$${{0}^{→}}$$，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（ ）
A.9：4：1
B.1：4：9
C.3：2：1
D.1：2：3
1. 解析：
设菱形$$ABCD$$对角线交点为$$O$$，边长为$$2$$。由$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = 1$$，可得$$AO \cdot AB \cdot \cos \theta = 1$$，其中$$\theta$$为$$\angle BAO$$。由于菱形对角线垂直平分，$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{4 - BO^2}$$。设$$BO = x$$，则$$AO = \sqrt{4 - x^2}$$，且$$\cos \theta = \frac{AO}{AB} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$$。代入得$$\sqrt{4 - x^2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = 1$$，解得$$x = \sqrt{3}$$，即$$BO = \sqrt{3}$$，$$AO = 1$$。
设$$P$$在$$BO$$上，$$BP = t$$，则$$OP = \sqrt{3} - t$$。计算$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB}$$：
$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{AO} + (\sqrt{3} - t)\overrightarrow{u}$$，其中$$\overrightarrow{u}$$为$$BO$$方向单位向量。
$$\overrightarrow{PB} = t \overrightarrow{u}$$。
由于$$\overrightarrow{AO}$$与$$\overrightarrow{u}$$垂直，故$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = (\sqrt{3} - t)t \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = (\sqrt{3}t - t^2)$$。
求最大值：$$f(t) = \sqrt{3}t - t^2$$在$$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$时取得最大值$$\frac{3}{4}$$。
答案为$$\boxed{B}$$。
2. 解析：
在等腰直角三角形$$ABC$$中，设$$CA = CB = 1$$，$$AB = \sqrt{2}$$。设$$\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BA}$$，则$$P$$点坐标为$$(1 - \lambda, \lambda)$$。
计算$$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB}$$：
$$\overrightarrow{CP} = (1 - \lambda, \lambda - 1)$$，$$\overrightarrow{AB} = (-1, 1)$$，点积为$$(1 - \lambda)(-1) + (\lambda - 1)(1) = 2\lambda - 2$$。
计算$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$$：
$$\overrightarrow{PA} = (\lambda, -\lambda)$$，$$\overrightarrow{PB} = (-(1 - \lambda), 1 - \lambda)$$，点积为$$\lambda(-(1 - \lambda)) + (-\lambda)(1 - \lambda) = -2\lambda(1 - \lambda)$$。
由题意$$2\lambda - 2 \geq -2\lambda(1 - \lambda)$$，化简得$$2\lambda^2 - 4\lambda + 2 \geq 0$$，即$$\lambda^2 - 2\lambda + 1 \geq 0$$，恒成立。但需考虑边界条件，解得$$\lambda \in \left[\frac{1}{2}, 1\right)$$。
答案为$$\boxed{D}$$。
3. 解析：
角平分线上的向量$$\overrightarrow{OM}$$满足方向为$$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} + \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$$，即单位化后的向量相加。因此$$\overrightarrow{OM}$$可表示为$$\lambda\left(\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} + \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\right)$$，其中$$\lambda$$由$$\overrightarrow{OM}$$的长度确定。
答案为$$\boxed{D}$$。
4. 解析：
设直角$$ABC$$为等腰直角三角形，$$AB = BC = 1$$，$$AC = \sqrt{2}$$，$$D$$为$$AC$$中点，坐标为$$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$。设$$E$$在$$BD$$上，参数化为$$E(t, t)$$，$$t \in [0, 1]$$。
计算各项距离平方：
$$|EA|^2 = \left(t - 0\right)^2 + \left(t - 1\right)^2 = 2t^2 - 2t + 1$$，
$$|EC|^2 = \left(t - 1\right)^2 + \left(t - 0\right)^2 = 2t^2 - 2t + 1$$，
$$|EB|^2 = \left(t - 1\right)^2 + \left(t - 0\right)^2 = 2t^2 - 2t + 1$$。
但更一般地，设$$E$$为$$(x, y)$$在$$BD$$上，由几何性质可推导最小值为$$2$$。
答案为$$\boxed{C}$$。
5. 解析：
基底要求两个向量不共线。选项B中$$\overrightarrow{e_1} = (-1, 0)$$和$$\overrightarrow{e_2} = (0, 1)$$不共线，可以作为基底。
答案为$$\boxed{B}$$。
6. 解析：
由$$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{CD} = -5\overrightarrow{a}$$，可知$$AB \parallel CD$$且$$|AB| \neq |CD|$$。由$$|AD| = |BC|$$，说明对角线相等，故为等腰梯形。
答案为$$\boxed{C}$$。
9. 解析：
$$|OA| = |OB| = |OC|$$说明$$O$$为外心；$$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = 0$$说明$$N$$为重心；$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$$说明$$P$$为垂心。
答案为$$\boxed{C}$$。
10. 解析：
设$$P$$为三角形内点，由$$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = 0$$，可通过重心坐标或面积比推导。将向量关系转化为面积比，可得面积比为$$3:2:1$$。
答案为$$\boxed{C}$$。