1、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$黄山质检]设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， B， C$$所对的边分别是$$a， b， c，$$若$$b=3， \， \， \， c=1， \， \， \， A=2 B，$$则$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
2、['正弦定理及其应用'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=\sqrt{6}， \， \， \， C=6 0^{\circ}， \， \， \， c=3$$，则$${{A}}$$的值为（）
A
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$或$${{1}{3}{5}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$或$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
3、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=4， \， \， b=6， \， \， \， B=6 0^{\circ}$$，则$${{s}{i}{n}{A}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知三角形面积为$$\frac{1} {4}，$$外接圆面积为$${{π}{，}}$$则这个三角形的三边之积为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{4}}$$
5、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\mathbf{c} \mathbf{=} \sqrt{\mathbf{3}}， \mathbf{A} \mathbf{=} \mathbf{7 5^{\circ}}， \mathbf{B} \mathbf{=4 5^{\circ}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆面积为$${{(}{ { }}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$${{π}}$$
C.$${{2}{π}}$$
D.$${{4}{π}}$$
6、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a=1， \， \， \， b=\sqrt{3}， \， \， \， A=3 0^{\circ}， \， \， \， B$$为锐角，那么$${{B}}$$的大小为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
8、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=3 0^{\circ}， \， \， \， B=1 3 5^{\circ}， \， \， \， a=3$$，则边$${{b}{=}{（}}$$）
C
A.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{b}{=}{1}}$$，$${{A}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${\sqrt {3}}$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
A.$${{1}{3}}$$
B.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
10、['正弦定理及其应用']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$${{a}{=}{{1}{0}}}$$，$${{b}{=}{8}}$$，$${{B}{=}{{3}{0}}{°}}$$，那么$${{△}{A}{B}{C}}$$的解的情况是$${{(}{)}}$$
C
A.无解
B.一解
C.两解
D.一解或两解
1. 解析：
根据题意，$$A=2B$$，利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{a}{\sin 2B} = \frac{3}{\sin B}$$。利用二倍角公式 $$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$$，化简得 $$a = 6 \cos B$$。再根据余弦定理：$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + 1 - 9}{2a} = \frac{a^2 - 8}{2a}$$。代入上式得 $$a = 6 \cdot \frac{a^2 - 8}{2a}$$，解得 $$a^2 = 12$$，即 $$a = 2 \sqrt{3}$$。答案为 $$C$$。
2. 解析：
利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$，即 $$\frac{\sqrt{6}}{\sin A} = \frac{3}{\sin 60^\circ}$$，解得 $$\sin A = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{3} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。由于 $$a < c$$，且 $$A$$ 为锐角，故 $$A = 45^\circ$$。答案为 $$A$$。
3. 解析：
利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{4}{\sin A} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$$，解得 $$\sin A = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{6} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为 $$C$$。
4. 解析：
设外接圆半径为 $$R$$，则外接圆面积为 $$\pi R^2 = \pi$$，解得 $$R = 1$$。三角形面积公式为 $$\frac{abc}{4R} = \frac{1}{4}$$，代入 $$R = 1$$ 得 $$abc = 1$$。答案为 $$A$$。
5. 解析：
根据题意，$$C = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$$。利用正弦定理：$$\frac{c}{\sin C} = 2R$$，即 $$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R$$，解得 $$R = 1$$。外接圆面积为 $$\pi R^2 = \pi$$。答案为 $$B$$。
6. 解析：
利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$$，解得 $$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。由于 $$B$$ 为锐角，故 $$B = 60^\circ$$。答案为 $$C$$。
8. 解析：
根据题意，$$C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$$。利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 135^\circ}$$，解得 $$b = 3 \cdot \frac{\sin 135^\circ}{\sin 30^\circ} = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{2}$$。答案为 $$C$$。
9. 解析：
三角形面积公式为 $$\frac{1}{2} b c \sin A = \sqrt{3}$$，代入 $$b = 1$$ 和 $$A = 60^\circ$$ 得 $$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$，解得 $$c = 4$$。利用余弦定理：$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 1 + 16 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13$$，即 $$a = \sqrt{13}$$。答案为 $$B$$。
10. 解析：
利用正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{10}{\sin A} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$$，解得 $$\sin A = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{8} = \frac{5}{8}$$。由于 $$\sin A < 1$$，且 $$a > b$$，故有两解。答案为 $$C$$。
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