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正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$$S=-\frac{\sqrt{1 3 8}} {2} \operatorname{c o s} C$$，且$${{a}{=}{\sqrt {2}}{，}{b}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{c}{=}{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${\sqrt {7}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%满足条件$${{a}{=}{4}{，}{b}{=}{3}{\sqrt {2}}{，}{A}{=}{{4}{5}}{°}}$$的$${{△}{A}{B}{C}}$$的个数为$${{(}{)}}$$
A.一个
B.两个
C.不存在
D.无法判断
5、['正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形'， '余弦定理、正弦定理']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$在线段$${{A}{B}}$$上，$${{A}{D}{=}{5}}$$，$${{B}{D}{=}{3}}$$，若$${{C}{B}{=}{2}{C}{D}}$$，$$\operatorname{c o s} \angle C D B=-\frac{\sqrt{5}} {5}$$，则下列错误的是$${{(}{)}}$$
A.$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{8}}$$
B.$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长为$${{8}{+}{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{△}{A}{B}{C}}$$为钝角三角形
D.$$\operatorname{s i n} \angle C D B=\frac{3} {1 0}$$
6、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，已知$${{(}{a}{+}{b}{)}}$$：$${{(}{b}{+}{c}{)}}$$：$${{(}{c}{+}{a}{)}{=}{5}}$$：$${{6}}$$：$${{7}}$$，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
A.$${{s}{i}{n}{A}}$$：$${{s}{i}{n}{B}}$$：$${{s}{i}{n}{C}{=}{2}}$$：$${{3}}$$：$${{4}}$$
B.$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形
C.若$${{a}{=}{6}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是$${{6}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
D.若$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆半径是$${{R}}$$，内切圆半径为$${{r}}$$，则$$\frac{R} {r}=\frac{1 6} {5}$$
7、['余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，“$${{c}{o}{s}{A}{>}{0}}$$”是“$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形”的$${{(}{)}}$$
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
已知三角形面积公式为 $$S = \frac{1}{2}ab \sin C$$，题目给出 $$S = -\frac{\sqrt{138}}{2} \cos C$$。将已知边长 $$a = \sqrt{2}$$ 和 $$b = \sqrt{3}$$ 代入面积公式：
$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin C = -\frac{\sqrt{138}}{2} \cos C$$
化简得：$$\sqrt{6} \sin C = -\sqrt{138} \cos C$$
两边平方：$$6 \sin^2 C = 138 \cos^2 C$$，即 $$\sin^2 C = 23 \cos^2 C$$
利用 $$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$，解得 $$\cos^2 C = \frac{1}{24}$$，故 $$\cos C = -\frac{1}{2\sqrt{6}}$$（因为面积为负，$$\cos C$$ 为负）。
由余弦定理：$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 2 + 3 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{6}}\right) = 5 + 1 = 6$$
因此 $$c = \sqrt{6}$$，答案为 C。
4. 解析：
已知 $$a = 4$$，$$b = 3\sqrt{2}$$，$$A = 45^\circ$$。利用正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin B}$$
解得 $$\sin B = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{4} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{4} = \frac{3}{4}$$
因为 $$\sin B = \frac{3}{4}$$，所以 $$B$$ 有两个可能的值（锐角和钝角），因此满足条件的三角形有两个，答案为 B。
5. 解析：
已知 $$AD = 5$$，$$BD = 3$$，$$CB = 2CD$$，$$\cos \angle CDB = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$。
设 $$CD = x$$，则 $$CB = 2x$$。在 $$\triangle CDB$$ 中，利用余弦定理：
$$\cos \angle CDB = \frac{CD^2 + BD^2 - CB^2}{2 \cdot CD \cdot BD} = \frac{x^2 + 9 - 4x^2}{6x} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$
化简得：$$-3x^2 + 9 = -\frac{6\sqrt{5}}{5}x$$，解得 $$x = \sqrt{5}$$（舍去负值）。
因此 $$CB = 2\sqrt{5}$$。再在 $$\triangle CDB$$ 中利用正弦定理求 $$\sin \angle CDB$$：
$$\sin \angle CDB = \sqrt{1 - \cos^2 \angle CDB} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
选项 D 的值为 $$\frac{3}{10}$$，与计算结果不符，因此错误的是 D。
6. 解析：
设 $$a + b = 5k$$，$$b + c = 6k$$，$$c + a = 7k$$，解得 $$a = 3k$$，$$b = 2k$$，$$c = 4k$$。
由正弦定理，$$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 3 : 2 : 4$$，选项 A 错误。
利用余弦定理判断角的大小：
$$\cos C = \frac{9k^2 + 4k^2 - 16k^2}{12k^2} = -\frac{1}{4} < 0$$，故 $$C$$ 为钝角，选项 B 错误。
若 $$a = 6$$，则 $$k = 2$$，$$b = 4$$，$$c = 8$$。利用海伦公式计算面积：
$$S = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1} = 3\sqrt{15}$$，选项 C 错误。
外接圆半径 $$R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{15}}$$，内切圆半径 $$r = \frac{S}{s} = \frac{3\sqrt{15}}{9} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$，因此 $$\frac{R}{r} = \frac{16}{\sqrt{15}} \cdot \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5}$$，选项 D 正确，答案为 D。
7. 解析：
$$\cos A > 0$$ 仅说明 $$A$$ 为锐角，但无法保证 $$B$$ 和 $$C$$ 也为锐角，因此不是充分条件。
若 $$\triangle ABC$$ 为锐角三角形，则 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 均为锐角，必然有 $$\cos A > 0$$，因此是必要条件。
答案为 B。