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正确率40.0%已知腰长为$${{2}}$$的等腰直角三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${{，}{M}}$$为斜边$${{A}{B}}$$的中点，点$${{P}}$$为该平面内一动点，若$${{|}{P}{C}}$$$${{|}{=}{2}}$$，则$$( \overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}+4 ) \cdot( \overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P M} )$$的最小值为（）
C
A.$$2 4-1 6 \sqrt{2}$$
B.$$2 4+1 6 \sqrt{2}$$
C.$$4 8-3 2 \sqrt2$$
D.$$4 8+3 2 \sqrt2$$
3、['点到直线的距离'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率19.999999999999996%已知$$m， \， \， n， \， \， p， \， \， q \in R，$$若$$m^{2}+n^{2}=p^{2}+q^{2}=\sqrt{2} m p+\sqrt{2} n q=4.$$则$$| m-4+n |+2 | p-4+q |$$的最小值为（）
D
A.$$1 2-2 \sqrt{1 0-4 \sqrt{2}}$$
B.$$1 3-2 \sqrt{1 1-4 \sqrt{2}}$$
C.$$1 3-2 \sqrt{1 1+4 \sqrt{2}}$$
D.$$1 2-2 \sqrt{1 0+4 \sqrt{2}}$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$， \， \， A B=2， \， \， \， B C=1，$$点$${{E}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，点$${{F}}$$在线段$${{D}{C}}$$上，若$$\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A P}$$，且点$${{P}}$$在直线$${{A}{C}}$$上，则$$\overrightarrow{E F} \cdot\overrightarrow{A P}=$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{9} {4}$$
C.$$- \frac{5} {2}$$
D.$${{−}{3}}$$
6、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量与其他知识的综合应用']正确率19.999999999999996%已知向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=\overrightarrow{| O B |}=1， \， \， \， \overrightarrow{O A} \perp\overrightarrow{O B}， \， \， \， \overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \， \， \， \mu\in R ).$$若$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，并且$$| \overrightarrow{M C} |=1$$，则$${{λ}{+}{μ}}$$的最大值是（）
B
A.$${{1}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
7、['空间向量基本定理的理解'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$$\{\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c} \}$$是空间向量的一个基底，则可以与向量$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}， \; \; \overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$构成基底的向量是（）
D
A.$${{a}^{→}}$$
B.$${{b}^{→}}$$
C.$$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$
D.$$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{c}$$
8、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例']正确率80.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，已知$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}， \， \， \， | \overrightarrow{A B} |=| \overrightarrow{B C} |，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$一定是（）
C
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
9、['向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$${{D}}$$满足$$\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{D C}=0，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是$${{△}{A}{B}{D}}$$的面积的（）
A
A.$${{5}}$$倍
B.$${{4}}$$倍
C.$${{3}}$$倍
D.$${{2}}$$倍
10、['向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是单位圆$${{O}}$$的内接三角形，若$$A=\frac{\pi} {4}，$$则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{O C}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
1. 等腰直角三角形ABC，腰长$$2$$，斜边AB中点M。设坐标系：$$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(0,2)$$，则$$M(1,0)$$。已知$$|PC|=2$$，设$$P(x,y)$$，则$$(x-0)^2+(y-2)^2=4$$。
计算：$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = ( -x,-y ) \cdot ( 2-x,-y ) = -x(2-x)+y^2 = x^2-2x+y^2$$
$$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PM} = ( -x,2-y ) \cdot ( 1-x,-y ) = -x(1-x)+(2-y)(-y) = -x+x^2-2y+y^2$$
原式$$=(x^2-2x+y^2+4)(x^2+y^2-x-2y)$$。由$$x^2+(y-2)^2=4$$得$$x^2+y^2=4y$$。
代入：第一因子$$4y-2x+4$$，第二因子$$4y-x-2y=2y-x$$。原式$$=(4y-2x+4)(2y-x)$$。
令$$t=2y-x$$，则$$4y-2x+4=2(2y-x)+4=2t+4$$。原式$$=(2t+4)t=2t^2+4t$$。
由$$x^2+y^2=4y$$和$$t=2y-x$$，得$$x=2y-t$$，代入：$$(2y-t)^2+y^2=4y$$，即$$5y^2-4ty+t^2-4y=0$$。
关于y的方程有实根，判别式$$\Delta_y = ( -4t-4 )^2 - 4 \times 5 \times (t^2) \geq 0$$，即$$16t^2+32t+16-20t^2 \geq 0$$，$$-4t^2+32t+16 \geq 0$$，$$t^2-8t-4 \leq 0$$，解得$$4-2\sqrt{5} \leq t \leq 4+2\sqrt{5}$$。
二次函数$$f(t)=2t^2+4t$$在$$t \in [4-2\sqrt{5},4+2\sqrt{5}]$$的最小值在顶点$$t=-1$$处，但$$-1$$不在区间内。区间左端点$$4-2\sqrt{5} \approx -0.472$$，右端点$$4+2\sqrt{5} \approx 8.472$$，函数在区间上递增，最小值在$$t=4-2\sqrt{5}$$。
$$f_{min}=2(4-2\sqrt{5})^2+4(4-2\sqrt{5}) = 2(16-16\sqrt{5}+20)+16-8\sqrt{5} = 72-32\sqrt{5}+16-8\sqrt{5} = 88-40\sqrt{5}$$，但选项无此值，检查计算。
重新计算：$$t=2y-x$$，约束$$x^2+(y-2)^2=4$$。用几何法：P在圆$$x^2+(y-2)^2=4$$上，求$$( \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}+4 ) ( \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PM} )$$最小。
注意$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |PA||PB|\cos \angle APB$$，但用坐标已得$$x^2+y^2-2x$$，且$$x^2+y^2=4y$$，所以$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 4y-2x$$，则第一因子$$4y-2x+4$$。
第二因子$$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PM} = (x-0)(x-1)+(y-2)(y-0)??? 之前符号错。$$\overrightarrow{PC}=(x_C-x_P, y_C-y_P)=(0-x,2-y)=(-x,2-y)$$，$$\overrightarrow{PM}=(x_M-x_P, y_M-y_P)=(1-x,0-y)=(1-x,-y)$$，点积$$(-x)(1-x)+(2-y)(-y) = -x+x^2 -2y + y^2 = x^2+y^2 -x -2y = 4y -x -2y = 2y -x$$。正确。
所以原式$$=(4y-2x+4)(2y-x)$$。令$$u=2y-x$$，则$$4y-2x+4=2(2y-x)+4=2u+4$$。原式$$=(2u+4)u=2u^2+4u$$。
约束：P在圆$$x^2+(y-2)^2=4$$上，即$$x^2+y^2-4y=0$$，即$$x^2+y^2=4y$$。又$$u=2y-x$$，则$$x=2y-u$$，代入：$$(2y-u)^2+y^2=4y$$，$$4y^2-4uy+u^2+y^2=4y$$，$$5y^2-4uy+u^2-4y=0$$，即$$5y^2 -4(u+1)y + u^2=0$$。
判别式$$\Delta_y = 16(u+1)^2 - 20u^2 \geq 0$$，$$16u^2+32u+16-20u^2 \geq 0$$，$$-4u^2+32u+16 \geq 0$$，$$u^2-8u-4 \leq 0$$，解得$$4-2\sqrt{5} \leq u \leq 4+2\sqrt{5}$$。
$$f(u)=2u^2+4u$$在$$u \in [4-2\sqrt{5}, 4+2\sqrt{5}]$$，顶点$$u=-1$$不在区间，区间左端约-0.472，右端8.472，函数递增，最小值在$$u=4-2\sqrt{5}$$。
$$f_{min}=2(4-2\sqrt{5})^2+4(4-2\sqrt{5}) = 2(16-16\sqrt{5}+20)+16-8\sqrt{5} = 72-32\sqrt{5}+16-8\sqrt{5} = 88-40\sqrt{5}$$。但选项为$$48-32\sqrt{2}$$等，可能我设坐标不同。若设$$C(0,0)$$, $$A(2,0)$$, $$B(0,2)$$，则斜边AB中点M(1,1)。|PC|=2即$$x^2+y^2=4$$。
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (2-x,-y) \cdot (-x,2-y) = -x(2-x) + -y(2-y) = -2x+x^2 -2y+y^2 = (x^2+y^2)-2x-2y = 4-2x-2y$$。
第一因子$$4-2x-2y+4=8-2x-2y$$。
$$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PM} = (-x,-y) \cdot (1-x,1-y) = -x(1-x)+ -y(1-y) = -x+x^2 -y+y^2 = (x^2+y^2)-x-y=4-x-y$$。
原式$$=(8-2x-2y)(4-x-y)$$。令$$t=x+y$$，则原式$$=(8-2t)(4-t)=2(4-t)(4-t)=2(4-t)^2$$。
约束$$x^2+y^2=4$$，且$$t=x+y$$，则$$x^2+y^2 \geq \frac{{t^2}}{{2}}$$（由柯西不等式），所以$$4 \geq \frac{{t^2}}{{2}}$$，即$$t^2 \leq 8$$，$$-2\sqrt{2} \leq t \leq 2\sqrt{2}$$。
则$$(4-t)^2$$在$$t=2\sqrt{2}$$时最小，为$$(4-2\sqrt{2})^2=16-16\sqrt{2}+8=24-16\sqrt{2}$$，所以原式$$=2 \times (24-16\sqrt{2})=48-32\sqrt{2}$$。对应选项C。
答案：C
3. 已知$$m^2+n^2=4$$，$$p^2+q^2=4$$，$$\sqrt{2}mp+\sqrt{2}nq=4$$即$$mp+nq=2\sqrt{2}$$。
设向量$$\vec{u}=(m,n)$$，$$\vec{v}=(p,q)$$，则$$|\vec{u}|=2$$，$$|\vec{v}|=2$$，$$\vec{u} \cdot \vec{v}=2\sqrt{2}$$。
则$$\cos \theta = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}||\vec{v}|}} = \frac{{2\sqrt{2}}}{{4}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}$$，所以$$\theta = \frac{{\pi}}{{4}}$$。
目标式：$$|m-4+n|+2|p-4+q| = |(m+n)-4| + 2|(p+q)-4|$$。
令$$A=m+n$$，$$B=p+q$$。已知$$m^2+n^2=4$$，则$$(m+n)^2 \leq 2(m^2+n^2)=8$$，所以$$-2\sqrt{2} \leq A \leq 2\sqrt{2}$$。同理$$-2\sqrt{2} \leq B \leq 2\sqrt{2}$$。
又$$\vec{u} \cdot \vec{v}=mp+nq=2\sqrt{2}$$。由$$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$$，但mq+np未知。考虑坐标旋转。
设$$\vec{u}=(2\cos \alpha, 2\sin \alpha)$$，则$$A=2(\cos \alpha + \sin \alpha)=2\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}})$$。
$$\vec{v}$$与$$\vec{u}$$夹角$$\frac{{\pi}}{{4}}$$，所以$$\vec{v}=(2\cos(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}}), 2\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}}))$$，则$$B=2[\cos(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}})+\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}})]=2\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{2}})=2\sqrt{2}\cos \alpha$$。
所以$$A=2\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}})$$，$$B=2\sqrt{2}\cos \alpha$$。
目标式$$T=|A-4|+2|B-4| = |2\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{{\pi}}{{4}})-4| + 2|2\sqrt{2}\cos \alpha -4|$$。
令$$u=\alpha+\frac{{\pi}}{{4}}$$，则$$\cos \alpha = \cos(u-\frac{{\pi}}{{4}})=\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}(\cos u + \sin u)$$，所以$$B=2\sqrt{2} \times \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}(\cos u + \sin u)=2(\cos u + \sin u)$$。
则$$T=|2\sqrt{2}\sin u -4| + 2|2(\cos u + \sin u)-4| = |2\sqrt{2}\sin u -4| + 4|\cos u + \sin u -2|$$。
注意$$\cos u + \sin u = \sqrt{2}\sin(u+\frac{{\pi}}{{4}}) \leq \sqrt{2} < 2$$，所以$$|\cos u + \sin u -2| = 2 - (\cos u + \sin u)$$。
同样，$$2\sqrt{2}\sin u -4$$，因$$\sin u \leq 1$$，$$2\sqrt{2} \approx 2.828<4$$，所以$$2\sqrt{2}\sin u -4 \leq 0$$，故$$|2\sqrt{2}\sin u -4| = 4 - 2\sqrt{2}\sin u$$。
所以$$T=4 - 2\sqrt{2}\sin u + 4[2 - (\cos u + \sin u)] = 4 - 2\sqrt{2}\sin u + 8 - 4\cos u - 4\sin u = 12 - 4\cos u - (4+2\sqrt{2})\sin u$$。
令$$R=\sqrt{4^2 + (4+2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 16+16\sqrt{2}+8} = \sqrt{40+16\sqrt{2}} = 2\sqrt{10+4\sqrt{2}}$$。
则$$T=12 - [4\cos u + (4+2\sqrt{2})\sin u] \geq 12 - R = 12 - 2\sqrt{10+4\sqrt{2}}$$。
最小值$$12 - 2\sqrt{10+4\sqrt{2}}$$，对应选项D。
答案：D
5. 矩形ABCD，AB=2，BC=1，E为BC中点，F在DC上，$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}$$，且P在直线AC上，求$$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AP}$$。
设A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)。则E(2,0.5)。设F(0,y)，因F在DC上，D(0,1)到C(2,1)？DC是从D(0,1)到C(2,1)，所以F(x,1)且x从0到2。但题说F在线段DC上，向量AF从A到F，所以F坐标(x,1)，0≤x≤2。
$$\overrightarrow{AE}=(2,0.5)$$，$$\overrightarrow{AF}=(x,1)$$，所以$$\overrightarrow{AP}=(2+x, 1.5)$$。
P在AC上，AC从A(0,0)到C(2,1)，参数方程：A+t(C-A)=(2t, t)，t∈[0,1]。
所以$$\overrightarrow{AP}=P-A=(2t, t)$$。但之前$$\overrightarrow{AP}=(2+x,1.5)$$，所以$$2t=2+x$$，$$t=1.5$$？矛盾，t≤1但1.5>1。所以F不在DC上？题说点F在线段DC上，DC是从D到C，即从(0,1)到(2,1)，所以F(s,1)，s∈[0,2]。
则$$\overrightarrow{AF}=(s,1)$$，$$\overrightarrow{AE}=(2,0.5)$$，$$\overrightarrow{AP}=(2+s, 1.5)$$。
P在AC上：AC参数(2λ, λ)，λ∈[0,1]。所以$$\overrightarrow{AP}=(2λ, λ)$$。则$$2λ=2+s$$，$$λ=1.5$$？得λ=1.5>1，不可能。所以错误。
可能E不是BC中点？题说点E为BC的中点，B(2,0), C(2,1)，中点E(2,0.5)正确。那么可能F在DC上，但DC向量从D到C是(2,0)，所以F在从D(0,1)到C(2,1)的线段上，纵坐标恒为1。那么AF=(s,1)，AE=(2,0.5)，AP=(2+s,1.5)。P在AC上：AC从A(0,0)到C(2,1)，方向(2,1)，参数方程(2μ, μ)。所以AP=(2μ, μ)=(2+s,1.5)，则μ=1.5，2μ=3=2+s，s=1。所以F(1,1)。
则$$\overrightarrow{EF}=F-E=(1-2,1-0.5)=(-1,0.5)$$，$$\overrightarrow{AP}=(3,1.5)$$。
点积$$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{AP} = (-1)×3 + 0.5×1.5 = -3 + 0.75 = -2.25 = -\frac{{9}}{{4}}$$。
答案：B
6. 已知$$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$$，$$\overrightarrow{OA} \perp 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱