.jpg)
正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对边的长分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$${\frac{b} {c}}={\frac{1} {2}}， B=2 C， a=4，$$则$${{b}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{2}}$$
2、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的正弦公式'， '两个向量数量积的几何意义']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} < 0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为
C
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角或钝角三角形
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三边长分别为$$3， ~ 5， ~ 7$$，则该三角形的外接圆半径等于
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{7 \sqrt{3}} {3}$$
5、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别是$$a， \; b， \; c， \; \triangle A B C$$的面积$$S=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}} {4}，$$且$${{c}{=}{6}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆的半径为（）
D
A.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
6、['正弦定理及其应用']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$a=1， \， \， b=2， \， \， \， \operatorname{s i n} A=\frac{1} {3}$$，则$$\operatorname{s i n} B=($$）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {6}$$
7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$的对边分别为$$a， b， c$$，已知$$a=1， 2 b-\sqrt{3} c=2 a \operatorname{c o s} C， ~ \operatorname{s i n} C=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积是（）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$或$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$或$${\sqrt {3}}$$
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '解三角形中的最值（范围）问题'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$2 c \operatorname{c o s} B=2 a+b$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆的半径为$${{2}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积的最大值为（）
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$c=2， \， \， \， C={\frac{\pi} {3}}， \， \， \， \operatorname{s i n} B=2 \operatorname{s i n} A$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
B
A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
10、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， B， C$$的对边分别为$$a， b， c$$，若$$A=1 3 5^{\circ}， \， \， \， B=3 0^{\circ}， \， \， \， a=2$$，则$${{b}}$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
1. 由题意得 $$\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$$ 且 $$B = 2C$$。根据正弦定理：
$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sin 2C}{\sin C} = 2 \cos C$$
因此 $$\cos C = \frac{1}{4}$$。由余弦定理：
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{16 + b^2 - 4b^2}{8b} \Rightarrow b = 2 \sqrt{2}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 将不等式展开：
$$\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cos B < 0$$
由于 $$|\overrightarrow{AB}| > 0$$，化简得 $$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| \cos B < 0$$，即 $$\cos B < 0$$，说明角 $$B$$ 为钝角。因此三角形为钝角三角形。
答案为 $$\boxed{C}$$。
3. 已知边长 $$a=3$$，$$b=5$$，$$c=7$$。首先用余弦定理求角 $$C$$：
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{1}{2}$$
因此 $$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。由正弦定理求外接圆半径 $$R$$：
$$2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{7 \times 2}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
5. 根据面积公式 $$S = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4}$$ 和余弦定理 $$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$$，得：
$$S = \frac{2ab \cos C}{4} = \frac{1}{2} ab \cos C$$
又因为面积 $$S = \frac{1}{2} ab \sin C$$，所以 $$\cos C = \sin C$$，即 $$\tan C = 1$$，$$C = \frac{\pi}{4}$$。
由正弦定理求外接圆半径 $$R$$：
$$2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \sqrt{2} \Rightarrow R = 3 \sqrt{2}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
6. 由正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1} = \frac{2}{3}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 由 $$2b - \sqrt{3} c = 2a \cos C$$ 和余弦定理 $$2a \cos C = a \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{b}$$，代入得：
$$2b - \sqrt{3} c = \frac{1 + b^2 - c^2}{b}$$
整理得 $$2b^2 - \sqrt{3} b c = 1 + b^2 - c^2 \Rightarrow b^2 - \sqrt{3} b c + c^2 = 1$$。
又由 $$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得 $$C = \frac{\pi}{3}$$ 或 $$\frac{2\pi}{3}$$。
若 $$C = \frac{\pi}{3}$$，代入得 $$b^2 - 3b + 3 = 1 \Rightarrow b = 1$$ 或 $$b = 2$$。
若 $$C = \frac{2\pi}{3}$$，代入得 $$b^2 + 3b + 3 = 1$$，无实数解。
当 $$b = 1$$ 时，面积为 $$\frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$；
当 $$b = 2$$ 时，面积为 $$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 由 $$2c \cos B = 2a + b$$ 和余弦定理 $$2c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = 2a + b$$，化简得：
$$a^2 + c^2 - b^2 = 2a^2 + a b \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 + a b$$
由正弦定理 $$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 4$$，得 $$a = 4 \sin A$$，$$b = 4 \sin B$$，$$c = 4 \sin C$$。
代入上式得 $$16 \sin^2 C = 16 \sin^2 A + 16 \sin^2 B + 16 \sin A \sin B$$，即 $$\sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin A \sin B$$。
由 $$A + B + C = \pi$$，利用三角恒等式化简后可得 $$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$C = \frac{\pi}{3}$$。
面积为 $$S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{\sqrt{3}}{4} a b$$，由正弦定理和三角恒等式，最大值为 $$4 \sqrt{3}$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
9. 由 $$\sin B = 2 \sin A$$ 和正弦定理得 $$b = 2a$$。由余弦定理：
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C \Rightarrow 4 = a^2 + 4a^2 - 2 \times a \times 2a \times \frac{1}{2} = 3a^2 \Rightarrow a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
因此 $$b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{3}}{3} \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
10. 由正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{2}{\sin 135^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$$
计算得 $$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$，因此：
$$b = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$$
答案为 $$\boxed{B}$$。