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首先，我们明确题目要求的是一个高中题库解析的示例，因此以下将针对一道典型的高中数学题进行分步解析。
例题：求函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$$ 的极值点和单调区间。
解析步骤：
1. 求导数：首先计算函数的一阶导数，以确定临界点。 $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x$$
2. 求临界点：令导数为零，解方程： $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$ 解得临界点为 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。
3. 判断单调性：通过一阶导数的符号变化分析单调区间。 - 当 $$x < 0$$ 时，取测试点 $$x = -1$$，代入导数： $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 9 > 0$$，函数单调递增。 - 当 $$0 < x < 2$$ 时，取测试点 $$x = 1$$， $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 < 0$$，函数单调递减。 - 当 $$x > 2$$ 时，取测试点 $$x = 3$$， $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 9 > 0$$，函数单调递增。
4. 确定极值点：结合单调性变化判断极值性质。 - 在 $$x = 0$$ 处，导数由正变负，故为极大值点。 - 在 $$x = 2$$ 处，导数由负变正，故为极小值点。
5. 总结结论： - 极值点：极大值点 $$(0, f(0)) = (0, 2)$$，极小值点 $$(2, f(2)) = (2, -2)$$。 - 单调区间：函数在 $$(-\infty, 0)$$ 和 $$(2, +\infty)$$ 上单调递增，在 $$(0, 2)$$ 上单调递减。