余弦定理、正弦定理应用举例-平面向量的应用知识点月考基础单选题自测题解析-四川省等高二数学必修,平均正确率90.0%

2、['余弦定理、正弦定理应用举例'， '判断三角形的形状'， '平面向量共线的坐标表示'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{{p}^{→}}{=}{（}{{c}^{2}}{，}{{a}^{2}}{）}{，}{{q}^{→}}{=}{（}{{t}{a}{n}}{C}{，}{{t}{a}{n}}{A}{）}}$$，且$${{p}^{→}{/}{/}{{q}^{→}}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理应用举例']

正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$、$${{b}}$$、$${{c}}$$，不解三角形，确定下列判断正确的是$${{(}{)}}$$

A.$${{B}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{c}{=}{4}}$$，$${{b}{=}{5}}$$，有两解

B.$${{B}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{c}{=}{4}}$$，$${{b}{=}{{3}{.}{9}}}$$，有一解

C.$${{B}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{c}{=}{4}}$$，$${{b}{=}{3}}$$，有一解

D.$${{B}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{c}{=}{4}}$$，$${{b}{=}{2}}$$，无解

7、['余弦定理、正弦定理应用举例']

正确率60.0%已知$${{A}}$$船在灯塔$${{C}}$$北偏东$${{8}{5}^{∘}}$$方向，且$${{A}}$$到$${{C}}$$的距离为$${{2}{\sqrt {3}}{k}{m}{，}{B}}$$船在灯塔$${{C}}$$北偏西$${{3}{5}^{∘}}$$方向，且$${{B}}$$到$${{C}}$$的距离为$${\sqrt {3}{k}{m}{，}}$$则$${{A}{，}{B}}$$两船的距离为（）

A.$${{2}{\sqrt {3}}{k}{m}}$$

B.$${\sqrt {{1}{5}}{k}{m}}$$

C.$${{3}{k}{m}}$$

D.$${\sqrt {{2}{1}}{k}{m}}$$

2、解析：

已知向量 $${\vec{p} = (c^2, a^2)}$$ 和 $${\vec{q} = (\tan C, \tan A)}$$ 平行，因此存在比例常数 $$k$$ 使得： $${c^2 = k \tan C}$$ $${a^2 = k \tan A}$$ 由正弦定理，$${\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R}$$（$$R$$ 为外接圆半径），代入得： $${a^2 = 4R^2 \sin^2 A}$$ $${c^2 = 4R^2 \sin^2 C}$$ 将 $$a^2$$ 和 $$c^2$$ 代入平行条件： $${4R^2 \sin^2 C = k \tan C}$$ $${4R^2 \sin^2 A = k \tan A}$$ 化简得： $${\sin C \cos C = \sin A \cos A}$$ 即： $${\sin 2C = \sin 2A}$$ 因此有两种可能： 1. $${2C = 2A \Rightarrow C = A}$$（等腰三角形） 2. $${2C = 180^\circ - 2A \Rightarrow C = 90^\circ - A \Rightarrow A + C = 90^\circ \Rightarrow B = 90^\circ}$$（直角三角形）综上，$${\triangle ABC}$$ 是等腰或直角三角形，答案为 D。

4、解析：

在 $${\triangle ABC}$$ 中，已知角 $$B$$ 和边 $$c$$、$$b$$，利用正弦定理判断解的个数： $${\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}}$$ 即： $${\sin C = \frac{c \sin B}{b}}$$ 计算各选项： A：$${\sin C = \frac{4 \times \sin 60^\circ}{5} = \frac{2\sqrt{3}}{5} < 1}$$，且 $$c > b$$，有两解。 B：$${\sin C = \frac{4 \times \sin 60^\circ}{3.9} \approx 0.887 < 1}$$，且 $$c > b$$，有两解（题目说一解，错误）。 C：$${\sin C = \frac{4 \times \sin 60^\circ}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1}$$，无解（题目说一解，错误）。 D：$${\sin C = \frac{4 \times \sin 60^\circ}{2} = \sqrt{3} > 1}$$，无解（正确）。但题目要求选择“判断正确”的选项，仅 D 正确。

7、解析：

以灯塔 $$C$$ 为原点建立坐标系： - $$A$$ 船方向为北偏东 $$85^\circ$$，距离 $$2\sqrt{3}$$ km，坐标为： $${(2\sqrt{3} \sin 85^\circ, 2\sqrt{3} \cos 85^\circ)}$$ - $$B$$ 船方向为北偏西 $$35^\circ$$，距离 $$\sqrt{3}$$ km，坐标为： $${(-\sqrt{3} \sin 35^\circ, \sqrt{3} \cos 35^\circ)}$$ 计算 $$AB$$ 的距离： $${AB = \sqrt{(2\sqrt{3} \sin 85^\circ + \sqrt{3} \sin 35^\circ)^2 + (2\sqrt{3} \cos 85^\circ - \sqrt{3} \cos 35^\circ)^2}}$$ 化简后利用三角函数近似值得： $${AB \approx \sqrt{21} \text{ km}}$$ 答案为 D。

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