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正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\frac{a} {\operatorname{s i n} A}=\frac{b} {\operatorname{c o s} B}=\frac{c} {\operatorname{c o s} C}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
B
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.有一个内角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直角三角形
D.有一个内角为$${{3}{0}^{∘}}$$的等腰三角形
2、['正弦定理及其应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ c$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，且$$b^{2}=a c， ~ \operatorname{s i n} A \operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} B \operatorname{s i n} C=1-\operatorname{c o s} 2 B$$，则角$${{A}{=}{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
3、['正弦定理及其应用'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$b \operatorname{c o s} A=a \operatorname{c o s} B$$，则此三角形为（）
A
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰或直角三角形
4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边长分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$b^{2}+c^{2}-b c=a^{2}， \ \frac c b=\frac1 2$$ $${{c}{o}{s}{B}}$$ 等于（ ）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{0}}$$
5、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$B=\frac{\pi} {6}， \， \， \， c=1 5 0， \， \， \， b=5 0 \sqrt{3}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为（）
B
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
6、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$2 a \operatorname{c o s} C=b$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
C
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%$$A， B， C$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的三个内角，若$$\operatorname{s i n}^{2} A+\sqrt2 \mathrm{s i n} A \mathrm{s i n} B+\operatorname{s i n}^{2} B=\operatorname{s i n}^{2} C$$，则$${{C}{=}{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
8、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$$锐角$$中，$$a \!=\! \sqrt{3}， b {=} 1， A {=} 6 0^{\circ}$$，则$${{B}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}{5}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率40.0%我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的$${{“}}$$三斜公式$${{”}}$$，设在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A， B， C$$对边分别为$$a， b， c$$，面积为$${{S}}$$，则$${{“}}$$三斜求积$${{”}}$$公式为$$S=\sqrt{{\frac{1} {4}} [ a^{2} c^{2}-{( {\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}} {2}} )}^{2} ]}$$.若$$c^{2} \operatorname{s i n} A=3 \mathrm{s i n} C$$，且$$\operatorname{c o s} B=\frac{1} {3}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['正弦定理及其应用']正确率80.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，若$$a=\frac{\sqrt{3}} {6}$$，$$B=\frac{\pi} {3}$$，$$\operatorname{s i n} A=\frac{1} {3}$$，则$${{b}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
1. 由正弦定理和题意得：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C} = 2R$$，其中 $$R$$ 为外接圆半径。因此：$$a = 2R \sin A$$，$$b = 2R \cos B$$，$$c = 2R \cos C$$。代入余弦定理和三角形内角和关系，可推导出 $$B = C = 45^\circ$$，$$A = 90^\circ$$，故为等腰直角三角形。答案为 B。
2. 由 $$b^2 = a c$$ 及正弦定理得 $$\sin^2 B = \sin A \sin C$$。将 $$\sin A \sin B + \sin B \sin C = 1 - \cos 2B$$ 化简为 $$\sin B (\sin A + \sin C) = 2 \sin^2 B$$。因为 $$\sin B \neq 0$$，故 $$\sin A + \sin C = 2 \sin B$$。结合 $$A + B + C = \pi$$，可解得 $$A = \frac{\pi}{6}$$。答案为 C。
3. 由 $$b \cos A = a \cos B$$ 及余弦定理得：$$b \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c} = a \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c}$$，化简后得 $$b^2 = a^2$$，即 $$a = b$$，故为等腰三角形。答案为 A。
4. 由 $$b^2 + c^2 - b c = a^2$$ 及余弦定理得 $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c} = \frac{b c}{2 b c} = \frac{1}{2}$$，故 $$A = 60^\circ$$。由 $$\frac{c}{b} = \frac{1}{2}$$ 及正弦定理得 $$\frac{\sin C}{\sin B} = \frac{1}{2}$$，结合 $$B + C = 120^\circ$$，解得 $$B = 90^\circ$$，$$C = 30^\circ$$。因此 $$\cos B = 0$$。答案为 D。
5. 由正弦定理得 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，代入 $$B = \frac{\pi}{6}$$，$$c = 150$$，$$b = 50 \sqrt{3}$$，得 $$\sin C = \frac{c \sin B}{b} = \frac{150 \cdot \frac{1}{2}}{50 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故 $$C = 60^\circ$$ 或 $$120^\circ$$。若 $$C = 60^\circ$$，则 $$A = 90^\circ$$，为直角三角形；若 $$C = 120^\circ$$，则 $$A = 30^\circ$$，为等腰三角形。答案为 B。
6. 由 $$2 a \cos C = b$$ 及余弦定理得 $$2 a \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} = b$$，化简得 $$a^2 + b^2 - c^2 = b^2$$，即 $$a^2 = c^2$$，故 $$a = c$$，为等腰三角形。答案为 C。
7. 将 $$\sin^2 A + \sqrt{2} \sin A \sin B + \sin^2 B = \sin^2 C$$ 代入正弦定理得 $$a^2 + \sqrt{2} a b + b^2 = c^2$$。由余弦定理 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C$$，联立得 $$\sqrt{2} a b = -2 a b \cos C$$，故 $$\cos C = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$C = \frac{3 \pi}{4}$$。答案为 D。
8. 由正弦定理得 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，代入 $$a = \sqrt{3}$$，$$b = 1$$，$$A = 60^\circ$$，得 $$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$，故 $$B = 30^\circ$$。答案为 B。
9. 由 $$c^2 \sin A = 3 \sin C$$ 及正弦定理得 $$c^2 \cdot \frac{a}{2 R} = 3 \cdot \frac{c}{2 R}$$，化简得 $$a c = 3$$。由 $$\cos B = \frac{1}{3}$$ 得 $$\sin B = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$。代入三斜公式化简后得面积 $$S = \sqrt{2}$$。答案为 A。
10. 由正弦定理得 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，代入 $$a = \frac{\sqrt{3}}{6}$$，$$\sin A = \frac{1}{3}$$，$$B = \frac{\pi}{3}$$，得 $$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$$。答案为 D。