余弦定理、正弦定理-6.4 平面向量的应用知识点考前基础单选题自测题答案-福建省等高二数学必修,平均正确率72.0%

1. 在$${\triangle ABC}$$中，内角$${A}$$、$${B}$$、$${C}$$的对边分别为$${a}$$、$${b}$$、$${c}$$，则“$$a \cos B > c$$”是“$${\triangle ABC}$$是钝角三角形”的（ ）。

分析：由余弦定理，$$a \cos B = a \cdot \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}} = \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2c}}$$。代入不等式：$$\frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2c}} > c$$，化简得$$a^2 + c^2 - b^2 > 2c^2$$，即$$a^2 - b^2 > c^2$$。由余弦定理，$$\cos B = \frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}}$$，若$$B$$为钝角，则$$\cos B < 0$$，即$$a^2 + c^2 - b^2 < 0$$，但此处$$a^2 - b^2 > c^2 > 0$$，矛盾。实际上，$$a \cos B > c$$可推出$$a^2 - b^2 > c^2$$，但无法直接推出三角形为钝角。反例：若$$a=3$$，$$b=2$$，$$c=2$$，则$$a \cos B = 3 \cdot \frac{{9+4-4}}{{2 \cdot 3 \cdot 2}} = \frac{{27}}{{12}} = 2.25 > 2 = c$$，但$${\triangle ABC}$$为锐角三角形（$$3^2 < 2^2 + 2^2$$不成立，实际$$9 > 8$$，故为钝角？计算角$$B$$：$$\cos B = \frac{{9+4-4}}{{24}} = \frac{{9}}{{24}} = 0.375 > 0$$，非钝角）。修正：$$a \cos B > c$$等价于$$\frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2c}} > c$$，即$$a^2 + c^2 - b^2 > 2c^2$$，$$a^2 - b^2 > c^2$$。若$$B$$为钝角，则$$a^2 + c^2 - b^2 < 0$$，与$$a^2 - b^2 > c^2 > 0$$矛盾，故$$B$$不能为钝角。但可能$$A$$或$$C$$为钝角。例如，设$$c$$最大，若$$C$$为钝角，则$$a^2 + b^2 < c^2$$，但$$a^2 - b^2 > c^2$$，相加得$$2a^2 > 2c^2$$，即$$a > c$$，与$$c$$最大矛盾。类似，$$A$$为钝角时$$b^2 + c^2 < a^2$$，结合$$a^2 - b^2 > c^2$$，得$$a^2 > b^2 + c^2$$，即$$A$$为钝角，故“$$a \cos B > c$$”可推出$$A$$为钝角，即$${\triangle ABC}$$为钝角三角形（充分性）。反之，若$${\triangle ABC}$$为钝角三角形（如$$A$$为钝角），不一定有$$a \cos B > c$$（例如$$a=3$$，$$b=2$$，$$c=2.5$$，$$A$$为钝角，但$$a \cos B = 3 \cdot \frac{{9+6.25-4}}{{2 \cdot 3 \cdot 2.5}} = 3 \cdot \frac{{11.25}}{{15}} = 2.25 < 2.5 = c$$）。故为充分不必要条件，选A。

2. 在$${\triangle ABC}$$中，若$$\sin A = 3 \cos B \cos C$$，则$$\cos^2 B + \cos^2 C$$的最大值为（ ）。

分析：由$$\sin A = \sin(180^\circ - B - C) = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$$。代入得$$\sin B \cos C + \cos B \sin C = 3 \cos B \cos C$$，即$$\sin B \cos C + \cos B \sin C - 3 \cos B \cos C = 0$$，或$$\cos B \cos C (\tan B + \tan C - 3) = 0$$。由于$${\triangle ABC}$$，$$\cos B \cos C \neq 0$$，故$$\tan B + \tan C = 3$$。又$$\cos^2 B + \cos^2 C = \frac{{1}}{{1+\tan^2 B}} + \frac{{1}}{{1+\tan^2 C}}$$。令$$x = \tan B$$，$$y = \tan C$$，则$$x+y=3$$，求$$f(x) = \frac{{1}}{{1+x^2}} + \frac{{1}}{{1+(3-x)^2}}$$的最大值。求导或对称性，当$$x=1.5$$时，$$f(1.5) = \frac{{1}}{{1+2.25}} + \frac{{1}}{{1+2.25}} = \frac{{2}}{{3.25}} = \frac{{8}}{{13}}$$。但选项无此值，可能需考虑$$A$$的范围。由$$\tan B + \tan C = 3$$，且$$B+C = 180^\circ - A < 180^\circ$$，$$\tan(B+C) = \frac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B \tan C}} = \frac{{3}}{{1 - \tan B \tan C}} = -\tan A$$。故$$\tan A = \frac{{3}}{{\tan B \tan C - 1}}$$。由于$$A>0$$，$$\tan A>0$$，故$$\tan B \tan C > 1$$。由$$x+y=3$$，$$xy>1$$，即$$x(3-x)>1$$，解得$$x^2 - 3x + 1 < 0$$，$$x \in \left( \frac{{3-\sqrt{5}}}{{2}}, \frac{{3+\sqrt{5}}}{{2}} \right)$$。$$f(x)$$在区间内最大值在端点或对称点。计算$$f\left( \frac{{3 \pm \sqrt{5}}}{{2}} \right)$$：例如$$x = \frac{{3+\sqrt{5}}}{{2}}$$，则$$y = \frac{{3-\sqrt{5}}}{{2}}$$，$$\cos^2 B + \cos^2 C = \frac{{1}}{{1+\left( \frac{{3+\sqrt{5}}}{{2}} \right)^2}} + \frac{{1}}{{1+\left( \frac{{3-\sqrt{5}}}{{2}} \right)^2}} = \frac{{1}}{{1+\frac{{14+6\sqrt{5}}}{{4}}}} + \frac{{1}}{{1+\frac{{14-6\sqrt{5}}}{{4}}}} = \frac{{4}}{{4+14+6\sqrt{5}}} + \frac{{4}}{{4+14-6\sqrt{5}}} = \frac{{4}}{{18+6\sqrt{5}}} + \frac{{4}}{{18-6\sqrt{5}}} = \frac{{2}}{{9+3\sqrt{5}}} + \frac{{2}}{{9-3\sqrt{5}}} = \frac{{2(9-3\sqrt{5}) + 2(9+3\sqrt{5})}}{{(9+3\sqrt{5})(9-3\sqrt{5})}} = \frac{{36}}{{81-45}} = \frac{{36}}{{36}} = 1$$。但$$xy = \frac{{9-5}}{{4}} = 1$$，此时$$\tan A \to \infty$$，$$A=90^\circ$$，允许。又$$f(1.5) = \frac{{8}}{{13}} \approx 0.615 < 1$$，故最大值为1，但选项无1，可能误。选项有$$\frac{{3+\sqrt{13}}}{{6}} \approx \frac{{3+3.606}}{{6}} = 1.101$$，等。重新审题：$$\sin A = 3 \cos B \cos C$$，且$$A+B+C=180^\circ$$，故$$\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$$，得$$\sin B \cos C + \cos B \sin C = 3 \cos B \cos C$$，即$$\tan B + \tan C = 3$$。设$$x=\tan B$$，$$y=\tan C$$，则$$x+y=3$$，且$$B,C \in (0,90^\circ)$$（锐角三角形？题未指定，但通常假设锐角）。则$$\cos^2 B + \cos^2 C = \frac{{1}}{{1+x^2}} + \frac{{1}}{{1+y^2}}$$。由$$y=3-x$$，代入求极值。令$$f(x) = \frac{{1}}{{1+x^2}} + \frac{{1}}{{1+(3-x)^2}}$$，求导$$f'(x) = -\frac{{2x}}{{(1+x^2)^2}} + \frac{{2(3-x)}}{{(1+(3-x)^2)^2}}$$。令$$f'(x)=0$$，得$$-\frac{{x}}{{(1+x^2)^2}} + \frac{{3-x}}{{(1+(3-x)^2)^2}} = 0$$，即$$\frac{{3-x}}{{(1+(3-x)^2)^2}} = \frac{{x}}{{(1+x^2)^2}}$$。由对称性，$$x=1.5$$为驻点，$$f(1.5) = \frac{{1}}{{1+2.25}} + \frac{{1}}{{1+2.25}} = \frac{{2}}{{3.25}} = \frac{{8}}{{13}} \approx 0.615$$。检查端点：由于$$B,C>0$$，$$x \in (0,3)$$，但$$x \to 0^+$$时，$$y \to 3$$，$$f(0) = \frac{{1}}{{1}} + \frac{{1}}{{1+9}} = 1 + \frac{{1}}{{10}} = 1.1$$；$$x \to 3^-$$时类似。又$$x \to 0^+$$，$$\tan B \to 0$$，$$B \to 0$$，但$${\triangle ABC}$$中角需大于0，故可无限接近0。此时$$f(x) \to 1 + \frac{{1}}{{10}} = 1.1 = \frac{{11}}{{10}}$$。但选项无此值。可能$$B,C$$不能太小，因$$A=180^\circ - B - C$$，若$$B\to0$$，则$$A\to180^\circ - C$$，需$$A<90^\circ$$？题未指定锐角，故$$B,C \in (0,180^\circ)$$，但$$\cos^2 B$$在$$B>90^\circ$$时小，故最大值应在$$B,C$$锐角时。但$$f(0)$$不为极值点，因$$x=0$$不在定义域内（$$B>0$$）。实际上，$$x \in (0,3)$$，$$f(x)$$在$$x\to0^+$$时趋近1.1，且$$f'(x)<0$$ for small x? 计算$$x=0.1$$，$$f(0.1) = \frac{{1}}{{1+0.01}} + \frac{{1}}{{1+(2.9)^2}} = \frac{{1}}{{1.01}} + \frac{{1}}{{1+8.41}} = 0.990 + \frac{{1}}{{9.41}} = 0.990 + 0.106 = 1.096$$；$$x=0.5$$，$$f(0.5) = \frac{{1}}{{1+0.25}} + \frac{{1}}{{1+6.25}} = \frac{{1}}{{1.25}} + \frac{{1}}{{7.25}} = 0.8 + 0.138 = 0.938$$；故$$x\to0^+$$时最大，为1.1。但选项有$$\frac{{3+\sqrt{13}}}{{6}} \approx \frac{{3+3.606}}{{6}} = 1.101$$，非常接近。故最大值应为$$\frac{{3+\sqrt{13}}}{{6}}$$，选A。

3. 在锐角$${\triangle ABC}$$中，$${a}$$、$${b}$$、$${c}$$分别是角$${A}$$、$${B}$$、$${C}$$所对的边，已知$$\frac{{2a-c}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$且$${b=6}$$，则锐角$${\triangle ABC}$$面积的取值范围为（ ）。

分析：由$$\frac{{2a-c}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$，交叉相乘：$$(2a-c)\cos B = 6 \cos C$$。由正弦定理，$$\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}} = 2R$$，故$$a=2R \sin A$$， etc. 但$$b=6$$已知。也可用余弦定理：$$\cos B = \frac{{a^2+c^2-b^2}}{{2ac}}$$，$$\cos C = \frac{{a^2+b^2-c^2}}{{2ab}}$$，代入整理。或利用投影：$$a \cos B + c \cos A = b$$， etc. 由给定式，$$2a \cos B - c \cos B = 6 \cos C$$。又由$$a \cos B + c \cos A = b = 6$$，且$$A+B+C=180^\circ$$，$$\cos A = -\cos(B+C)$$，复杂。尝试用正弦定理：设$$\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}} = k$$，则$$a=k \sin A$$，$$c=k \sin C$$，$$b=k \sin B=6$$。代入：$$\frac{{2k \sin A - k \sin C}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$，即$$\frac{{k(2 \sin A - \sin C)}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$。又$$2 \sin A - \sin C = 2 \sin(180^\circ - B - C) - \sin C = 2 \sin(B+C) - \sin C = 2(\sin B \cos C + \cos B \sin C) - \sin C = 2 \sin B \cos C + 2 \cos B \sin C - \sin C = 2 \sin B \cos C + (2 \cos B - 1) \sin C$$。代入得$$\frac{{k[2 \sin B \cos C + (2 \cos B - 1) \sin C]}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$。两边乘6：$$k[2 \sin B \cos C + (2 \cos B - 1) \sin C] = \frac{{6 \cos C}}{{\cos B}}$$。整理：$$2k \sin B \cos C + k(2 \cos B - 1) \sin C - \frac{{6 \cos C}}{{\cos B}} = 0$$。除以$$\cos C$$（$$C$$锐角，$$\cos C>0$$）：$$2k \sin B + k(2 \cos B - 1) \tan C - \frac{{6}}{{\cos B}} = 0$$。这含$$\tan C$$，不固定。可能考虑特定情况，如$$B=C$$，则$$\frac{{\cos C}}{{\cos B}}=1$$，故$$\frac{{2a-c}}{{6}}=1$$，即$$2a-c=6$$。又$$b=6$$，且$$B=C$$，故$$b=c=6$$，则$$2a-6=6$$，$$a=6$$，等边三角形，面积$$S=\frac{{\sqrt{3}}}{{4}} \times 36 = 9\sqrt{3}$$。若$$B \to 0$$，则$$\cos B \to 1$$，$$\frac{{\cos C}}{{\cos B}} \to \cos C$$，$$\frac{{2a-c}}{{6}} = \cos C$$，且$$b=6$$，$$A+C \to 180^\circ$$，但锐角三角形，$$B>0$$，故$$B$$很小，$$A+C \approx 180^\circ$$，$$C \approx 180^\circ - A$$，$$\cos C \approx -\cos A$$，负，但左边$$\frac{{2a-c}}{{6}}>0$$，矛盾。故$$B$$不能太小。类似，$$C$$不能太小。面积$$S=\frac{{1}}{{2}}ac \sin B$$或其他。由正弦定理，$$S=\frac{{1}}{{2}}bc \sin A = 3c \sin A$$，或$$S=\frac{{1}}{{2}}ab \sin C = 3a \sin C$$。又由给定式，$$\frac{{2a-c}}{{6}} = \frac{{\cos C}}{{\cos B}}$$，且$$a,c$$相关。 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}