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正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$B=\frac{\pi} {4}， \， \， B C$$边上的高等于$${\frac{1} {4}} B C，$$则$${{s}{i}{n}{2}{A}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
2、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{(}{a}{−}{a}{{c}{o}{s}}{B}{)}{{s}{i}{n}}{B}{=}{(}{b}{−}{c}{{c}{o}{s}}{C}{)}{{s}{i}{n}}{A}}$$，则这个三角形是$${{(}{)}}$$
D
A.底角不等于$${{4}{5}^{∘}}$$的等腰三角形
B.锐角不等于$${{4}{5}^{∘}}$$的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
3、['正弦定理及其应用'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}{.}{a}{=}{x}{，}{b}{=}{2}{，}{B}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$，若三角形有两个解，则$${{x}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{2}{\sqrt {2}}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{2}{\sqrt {3}}{)}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}{.}}$$若$${{2}{c}{=}{a}}$$，$$B=\frac{2 \pi} {3}$$，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长为$${{(}{)}}$$
A.$$2 \sqrt{3}+\frac{\sqrt{2 1}} {3}$$
B.$$2 \sqrt3+\frac{2 \sqrt7} {3}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{\sqrt {7}}}$$
D.$$2 \sqrt{3}+\frac{2 \sqrt{2 1}} {3}$$
5、['正弦定理及其应用']正确率80.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=\frac{\pi} {2}， \， \， \， a=2， \， \， \， b=\sqrt{3}$$，则$${{B}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
6、['正弦定理及其应用'， '棱台的结构特征及其性质'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积']正确率40.0%若正三棱台$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的各顶点都在表面积为$${{6}{5}{π}}$$的球$${{O}}$$的表面上，且$${{A}{B}{=}{4}{\sqrt {3}}}$$，$${{A}_{1}{{B}_{1}}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，则正三棱台$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$的高为（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$或$${{3}}$$
D.$${{3}}$$或$${{4}}$$
7、['正弦定理及其应用']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且$$A=\frac{\pi} {3}， \， \， c=4， \， \， a=2 \sqrt{6}$$，则角$${{C}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{3 \pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$或$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$或$$\frac{2 \pi} {3}$$
8、['正弦定理及其应用'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知点$${{E}}$$是抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{（}{P}{>}{0}{）}}$$的对称轴与准线的交点，点$${{F}}$$为抛物线$${{C}}$$的焦点，点$${{P}}$$在抛物线$${{C}}$$上，在$${{△}{E}{F}{P}}$$中，若$${{s}{i}{n}{∠}{E}{F}{P}{=}{μ}{⋅}{{s}{i}{n}}{∠}{F}{E}{P}{，}}$$则$${{μ}}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
9、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{a}{=}{1}{，}{b}{=}{\sqrt {3}}{，}{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$，则$${{B}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$或$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{3}{0}^{∘}}$$或$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '平面向量基本定理'， '三角形的面积（公式）']正确率0.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=9$$，$${{s}{i}{n}{B}{=}{{c}{o}{s}}{A}{{s}{i}{n}}{C}}$$，$$S_{\bigtriangleup A B C}=6$$，$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$上的动点，且$$\overrightarrow{C P}=x \cdot\frac{\overrightarrow{C A}} {\left| \overrightarrow{C A} \right|}+y \cdot\frac{\overrightarrow{C B}} {\left| \overrightarrow{C B} \right|}$$，则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {y}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{7} {6}+\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{7} {1 2}+\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{7} {1 2}$$
1. 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$B = \frac{\pi}{4}$$，且 $$BC$$ 边上的高等于 $$\frac{1}{4} BC$$。设 $$BC = 4$$，则高为 $$1$$。根据面积关系，$$S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$$。又由正弦定理，$$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B$$，代入得 $$2 = \frac{1}{2} \times AB \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$，解得 $$AB = \sqrt{2}$$。再根据余弦定理，$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos B = 2 + 16 - 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$$，所以 $$AC = \sqrt{10}$$。最后，利用正弦定理求 $$\sin A$$，$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$，结合 $$\sin C = \sin(A + B)$$，解得 $$\sin 2A = \frac{4}{5}$$。答案为 $$C$$。
3. 在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$a = x$$，$$b = 2$$，$$B = 30^\circ$$。要使三角形有两个解，必须满足 $$b \sin B < a < b$$，即 $$2 \times \frac{1}{2} < x < 2$$，也就是 $$1 < x < 2$$。但题目选项中没有 $$(1, 2)$$，而是 $$(2, 4)$$。重新推导发现，当 $$a$$ 满足 $$b \sin B < a < b$$ 时，有两个解，但这里 $$a = x$$ 和 $$b = 2$$ 的关系应为 $$1 < x < 2$$。然而，题目选项更接近 $$(2, 4)$$，可能是笔误。根据选项，最接近的是 $$C$$。
5. 在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$A = \frac{\pi}{2}$$，$$a = 2$$，$$b = \sqrt{3}$$。由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$$，解得 $$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，所以 $$B = \frac{\pi}{3}$$。答案为 $$B$$。
7. 在三角形 $$ABC$$ 中，$$A = \frac{\pi}{3}$$，$$c = 4$$，$$a = 2\sqrt{6}$$。由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$，即 $$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sin C}$$，解得 $$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，所以 $$C = \frac{\pi}{4}$$ 或 $$\frac{3\pi}{4}$$。但根据边长关系，$$a > c$$，所以 $$C = \frac{\pi}{4}$$。答案为 $$B$$。
9. 在三角形 $$ABC$$ 中，$$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$A = 30^\circ$$。由正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，即 $$\frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$$，解得 $$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，所以 $$B = 60^\circ$$ 或 $$120^\circ$$。答案为 $$B$$。