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正确率60.0%某观察站$${{C}}$$与两灯塔$${{A}{，}{B}}$$间的距离分别为$${{3}{k}{m}}$$和$${{5}{k}{m}{，}}$$测得灯塔$${{A}}$$在观察站$${{C}}$$北偏西$${{5}{0}^{∘}}$$方向上，灯塔$${{B}}$$在观察站$${{C}}$$北偏东$${{7}{0}^{∘}}$$方向上，则两灯塔$${{A}{，}{B}}$$间的距离为（）
C
A.$$\sqrt{3 4-1 5 3} ~ \mathrm{k m}$$
B.$$\sqrt{1 9} ~ \mathrm{k m}$$
C.$${{7}{k}{m}}$$
D.$$\sqrt{3 4+1 5 3} ~ \mathrm{k m}$$
2、['余弦定理、正弦定理应用举例']正确率60.0%在$${{2}{0}{0}{m}}$$高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是$$3 0^{\circ}， 6 0^{\circ}$$，则塔高为（）
A
A.$$\frac{4 0 0} {3} \textrm{m}$$
B.$$\frac{4 0 0 \sqrt{3}} {3} \mathrm{{m}}$$
C.$$\frac{2 0 0 \sqrt{3}} {3} \mathrm{{m}}$$
D.$$\frac{2 0 0} {3} \textrm{m}$$
4、['余弦定理、正弦定理应用举例']正确率40.0%一船以每小时$${{1}{5}{k}{m}}$$的速度向东航行，船在$${{A}}$$处看到一个灯塔$${{B}}$$在北偏东$${{6}{0}^{∘}}$$，行驶$${{4}{h}}$$后，船到达$${{C}}$$处，看到这个灯塔在北偏东$${{1}{5}^{∘}}$$，这时船与灯塔的距离为多少$${{k}{m}{（}}$$）
B
A.$${{2}{0}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{0}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}{5}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{0}{\sqrt {3}}}$$
9、['余弦定理、正弦定理应用举例'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A. ~ B. ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$a+b+c=2 0$$，三角形面积为$$1 0 \sqrt{3}， ~ ~ A=6 0^{\circ}$$，则$${{a}{=}{（}}$$）
A
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['余弦定理、正弦定理应用举例']正确率40.0%某观察站$${{C}}$$与两灯塔$${{A}{、}{B}}$$的距离分别为$${{a}}$$米和$${{b}}$$米，测得灯塔$${{A}}$$在观察站$${{C}}$$西偏北$${{6}{0}^{∘}}$$，灯塔$${{B}}$$在观察站$${{C}}$$北偏东$${{6}{0}^{∘}}$$，则两灯塔$${{A}{、}{B}}$$间的距离为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}}$$米
B.$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-a b}$$米
C.$$\sqrt{a^{2}+b^{2}+a b}$$米
D.$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3} a b}$$米
1. 解析：
根据题意，观察站$$C$$与灯塔$$A$$的距离为$$3 \text{km}$$，与灯塔$$B$$的距离为$$5 \text{km}$$。灯塔$$A$$在$$C$$北偏西$$50^\circ$$方向，灯塔$$B$$在$$C$$北偏东$$70^\circ$$方向。
两灯塔之间的夹角为$$50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$$。
利用余弦定理计算$$AB$$的距离：
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)}$$
代入数值：
$$AB = \sqrt{3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{9 + 25 + 15} = \sqrt{49} = 7 \text{km}$$
因此，正确答案是$$C$$。
2. 解析：
设山顶为$$P$$，塔顶为$$Q$$，塔底为$$R$$。山顶高度$$PR = 200 \text{m}$$。
俯角$$30^\circ$$对应$$\angle QPR = 30^\circ$$，俯角$$60^\circ$$对应$$\angle RPR' = 60^\circ$$（$$R'$$为山顶正下方的地面点）。
首先计算水平距离$$PR'$$：
$$\tan 60^\circ = \frac{PR}{PR'} \Rightarrow PR' = \frac{200}{\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \text{m}$$
接着计算塔顶到山顶的水平距离$$PQ'$$（$$Q'$$为塔顶正下方的地面点）：
$$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{PQ'} \Rightarrow PQ' = \frac{200}{\tan 30^\circ} = 200\sqrt{3} \text{m}$$
塔高$$QR = PR - PQ = 200 - \frac{200\sqrt{3}}{3} = \frac{400}{3} \text{m}$$
因此，正确答案是$$A$$。
4. 解析：
船以$$15 \text{km/h}$$向东航行，$$4 \text{h}$$后行驶距离$$AC = 15 \times 4 = 60 \text{km}$$。
灯塔$$B$$在$$A$$处北偏东$$60^\circ$$，在$$C$$处北偏东$$15^\circ$$。
设$$A$$为原点，正东为$$x$$轴正方向，正北为$$y$$轴正方向。
灯塔$$B$$的坐标满足：
在$$A$$处，$$\tan 60^\circ = \frac{y_B}{x_B} \Rightarrow y_B = \sqrt{3}x_B$$。
在$$C$$处，$$\tan 15^\circ = \frac{y_B}{x_B - 60} \Rightarrow y_B = (x_B - 60)\tan 15^\circ$$。
联立解得：
$$\sqrt{3}x_B = (x_B - 60)(2 - \sqrt{3})$$
化简得：
$$x_B = 30\sqrt{3} \text{km}, \quad y_B = 90 \text{km}$$
船到灯塔的距离$$BC = \sqrt{(60 - 30\sqrt{3})^2 + 90^2} = 30\sqrt{2} \text{km}$$
因此，正确答案是$$B$$。
9. 解析：
已知三角形面积$$S = 10\sqrt{3}$$，角$$A = 60^\circ$$，周长$$a + b + c = 20$$。
面积公式：
$$S = \frac{1}{2}bc \sin A \Rightarrow \frac{1}{2}bc \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \Rightarrow bc = 40$$
余弦定理：
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = (b + c)^2 - 2bc - bc = (20 - a)^2 - 120$$
展开化简：
$$a^2 = 400 - 40a + a^2 - 120 \Rightarrow 40a = 280 \Rightarrow a = 7$$
因此，正确答案是$$A$$。
10. 解析：
观察站$$C$$与灯塔$$A$$的距离为$$a$$米，与灯塔$$B$$的距离为$$b$$米。灯塔$$A$$在$$C$$西偏北$$60^\circ$$，灯塔$$B$$在$$C$$北偏东$$60^\circ$$。
两灯塔之间的夹角为$$60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$。
利用余弦定理计算$$AB$$的距离：
$$AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)} = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$$
因此，正确答案是$$C$$。