1、['向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%在梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$${，{A}{B}{/}{/}{C}{D}{，}}$$且$${{A}{B}{=}{2}{A}{D}{=}{2}{C}{D}{=}{2}{C}{B}{=}{2}{，}}$$点$${{P}}$$在线段$${{B}{C}}$$上运动，若$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}，$$则$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{1 3} {1 6}$$
D.$$\frac{1 3} {4}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{1}{，}{A}{D}{=}{2}{，}{A}{B}{⊥}{A}{D}{，}}$$点$${{P}}$$为平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$所在平面内一点，则$$( \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C} ) \cdot\overrightarrow{P B}$$的最小值是（）
A
A.$$- \frac{5} {8}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {8}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
3、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率80.0%下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（）
D
A.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{0}{，}{2}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{0}{，}{−}{1}{)}}$$
B.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{2}{，}{1}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{0}{，}{0}{)}}$$
C.$$\vec{e_{1}}=( 3， \ 1 )， \ \vec{e_{2}}=( 5， \ \frac{5} {3} )$$
D.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{1}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{4}{，}{2}{)}}$$
4、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{6}{，}{A}{C}{=}{3}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆圆心，若存在 非零实数$${{x}{，}{y}}$$，使得$$\overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}，$$且$${{8}{x}{+}{3}{y}{=}{4}}$$，则$${{c}{o}{s}{∠}{B}{A}{C}{=}}$$
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
5、['数量积的运算律'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$是单位圆上互不相同的三点，且满足$$| \overrightarrow{A B} |=| \overrightarrow{A C} |$$，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}$$的最小值为（）
B
A.$$- \frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$${{−}{1}}$$
6、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{M}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{b}$$，若用$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$表示$$\overrightarrow{A M}，$$则
C
A.$$\frac1 2 ( \vec{a}-\vec{b} )$$
B.$${{a}{⃗}{−}{{b}^{⃗}}}$$
C.$$\frac{1} {2} ( \vec{a}+\vec{b} )$$
D.$${{a}{⃗}{+}{{b}^{⃗}}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面上中点坐标公式'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=1， \ \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=0， \ \overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \ \mu\in R )$$，若$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，并且$$| \overrightarrow{M C} |=1$$，则点$${（{λ}{，}{μ}{）}}$$的轨迹方程是（）
D
A.$$( \lambda+\frac{1} {2} )^{2}+( \mu-\frac{1} {2} )^{2}=1$$
B.$$( \lambda-\frac{1} {2} )^{2}+( \mu+1 )^{2}=1$$
C.$${（{λ}{−}{1}{）^{2}}{+}{（}{μ}{−}{1}{）^{2}}{=}{1}}$$
D.$$( \lambda-\frac{1} {2} )^{2}+( \mu-\frac{1} {2} )^{2}=1$$
8、['向量在几何中的应用举例'， '空间向量的相关概念']正确率80.0%下列说法正确的是（）
C
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底$${{\{}{a}{，}{b}{，}{c}{\}}}$$中基向量与基底$${{\{}{e}{，}{f}{，}{g}{\}}}$$基向量对应相等
9、['向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知$${{A}{(}{−}{2}{，}{1}{)}}$$，$${{B}{(}{6}{，}{−}{3}{)}}$$，$${{C}{(}{0}{，}{5}{)}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是$${{(}{)}}$$
A
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
10、['向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内，满足$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=| \overrightarrow{O C} |$$，$$\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}$$，且$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P A}$$，则点$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$依次是$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
C
A.重心，外心，垂心
B.重心，外心，内心
C.外心，重心，垂心
D.外心，重心，内心
1. 解析：
首先建立坐标系，设点 $$A$$ 在原点 $$(0,0)$$，$$AB$$ 沿 $$x$$ 轴方向，长度为 $$2$$。根据题意，$$AD = CD = CB = 1$$，且 $$AB \parallel CD$$。因此，点 $$D$$ 的坐标为 $$(1, \sqrt{3})$$，点 $$C$$ 的坐标为 $$(2, \sqrt{3})$$，点 $$B$$ 的坐标为 $$(2, 0)$$。点 $$P$$ 在线段 $$BC$$ 上运动，设 $$P$$ 的坐标为 $$(2, t)$$，其中 $$t \in [0, \sqrt{3}]$$。
向量 $$\overrightarrow{AP} = (2, t)$$，$$\overrightarrow{AB} = (2, 0)$$，$$\overrightarrow{AD} = (1, \sqrt{3})$$。根据题意，$$\overrightarrow{AP} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AD}$$，即：
$$2 = 2x + y$$
$$t = 0 \cdot x + \sqrt{3} y$$
解得 $$y = \frac{t}{\sqrt{3}}$$，$$x = 1 - \frac{t}{2\sqrt{3}}$$。
于是 $$x^2 + y^2 = \left(1 - \frac{t}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{t}{\sqrt{3}} + \frac{t^2}{12} + \frac{t^2}{3} = 1 - \frac{t}{\sqrt{3}} + \frac{5t^2}{12}$$。
对 $$t$$ 求导并令导数为零，得 $$-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{5t}{6} = 0$$，解得 $$t = \frac{6}{5\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$$。
代入得最小值 $$x^2 + y^2 = 1 - \frac{2\sqrt{3}/5}{\sqrt{3}} + \frac{5 \cdot (2\sqrt{3}/5)^2}{12} = 1 - \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{13}{16}$$。
故选 $$C$$。
2. 解析：
建立坐标系，设点 $$A$$ 在原点 $$(0,0)$$，$$AB$$ 沿 $$x$$ 轴方向，$$AD$$ 沿 $$y$$ 轴方向。则 $$B = (1, 0)$$，$$D = (0, 2)$$，$$C = (1, 2)$$。设点 $$P$$ 的坐标为 $$(x, y)$$。
向量 $$\overrightarrow{PA} = (-x, -y)$$，$$\overrightarrow{PC} = (1 - x, 2 - y)$$，$$\overrightarrow{PB} = (1 - x, -y)$$。
于是 $$(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC}) \cdot \overrightarrow{PB} = (1 - 2x, 2 - 2y) \cdot (1 - x, -y) = (1 - 2x)(1 - x) + (2 - 2y)(-y)$$。
展开并化简得 $$1 - 3x + 2x^2 - 2y + 2y^2$$。
配方得 $$2(x - \frac{3}{4})^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{8}$$。
当 $$x = \frac{3}{4}$$，$$y = \frac{1}{2}$$ 时，取得最小值 $$-\frac{5}{8}$$。
故选 $$A$$。
3. 解析：
两个向量能作为基底的条件是它们不共线（即线性无关）。
A 选项：$$e_1 = (0, 2)$$，$$e_2 = (0, -1)$$，共线（比例为 $$-2$$），不能作为基底。
B 选项：$$e_2 = (0, 0)$$ 为零向量，不能作为基底。
C 选项：$$e_1 = (3, 1)$$，$$e_2 = (5, \frac{5}{3})$$，比例为 $$\frac{5}{3}$$ 和 $$\frac{5}{3}$$，共线，不能作为基底。
D 选项：$$e_1 = (-2, 1)$$，$$e_2 = (4, 2)$$，比例为 $$-2$$ 和 $$2$$，不共线，可以作为基底。
故选 $$D$$。
4. 解析：
设 $$O$$ 为外接圆圆心，则 $$\overrightarrow{AO} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$$。根据外心的性质，$$AO$$ 是 $$AB$$ 和 $$AC$$ 的垂直平分线的交点。
由 $$8x + 3y = 4$$，结合向量关系，可以推导出 $$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$$。
通过计算得 $$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$$。
故选 $$B$$。
5. 解析：
设单位圆上点 $$A$$ 在 $$(1, 0)$$，$$B$$ 和 $$C$$ 对称分布，设 $$B = (\cos \theta, \sin \theta)$$，$$C = (\cos \theta, -\sin \theta)$$。
则 $$\overrightarrow{AB} = (\cos \theta - 1, \sin \theta)$$，$$\overrightarrow{AC} = (\cos \theta - 1, -\sin \theta)$$。
点积 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\cos \theta - 1)^2 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta - 2\cos \theta + 1 - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 2\cos \theta$$。
最小值为 $$-\frac{1}{2}$$（当 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$ 时）。
故选 $$B$$。
6. 解析：
$$M$$ 是 $$BC$$ 的中点，根据中点公式：
$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$。
故选 $$C$$。
7. 解析：
设 $$OA$$ 沿 $$x$$ 轴方向，$$OB$$ 沿 $$y$$ 轴方向，则 $$A = (1, 0)$$，$$B = (0, 1)$$，$$M = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$。
$$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} = (\lambda, \mu)$$。
$$|\overrightarrow{MC}| = \sqrt{(\lambda - \frac{1}{2})^2 + (\mu - \frac{1}{2})^2} = 1$$。
因此轨迹方程为 $$(\lambda - \frac{1}{2})^2 + (\mu - \frac{1}{2})^2 = 1$$。
故选 $$D$$。
8. 解析：
A 选项：三个不共面的向量才能构成空间基底，错误。
B 选项：基底不唯一，错误。
C 选项：两两垂直的非零向量不共面，可以构成基底，正确。
D 选项：基底之间无必然联系，错误。
故选 $$C$$。
9. 解析：
计算向量 $$\overrightarrow{AB} = (8, -4)$$，$$\overrightarrow{AC} = (2, 4)$$，$$\overrightarrow{BC} = (-6, 8)$$。
点积 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16 - 16 = 0$$，说明 $$AB$$ 与 $$AC$$ 垂直，为直角三角形。
故选 $$A$$。
10. 解析：
$$|OA| = |OB| = |OC|$$ 说明 $$O$$ 是外心。
$$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = 0$$ 说明 $$N$$ 是重心。
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$$ 说明 $$P$$ 是垂心。
故选 $$C$$。
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