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正确率40.0%已知腰长为$${{2}}$$的等腰直角三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${{，}{M}}$$为斜边$${{A}{B}}$$的中点，点$${{P}}$$为该平面内一动点，若$${{|}{P}{C}}$$$${{|}{=}{2}}$$，则$$( \overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}+4 ) \cdot( \overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P M} )$$的最小值为（）
C
A.$${{2}{4}{−}{{1}{6}}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}{4}{+}{{1}{6}}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{8}{−}{{3}{2}}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}{8}{+}{{3}{2}}{\sqrt {2}}}$$
2、['向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知$${{M}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面上一点，若$$\overrightarrow{A M}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{A C}，$$则$$\frac{S_{\triangle A B M}} {S_{\triangle B C M}}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{8}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
3、['向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率60.0%若$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且满足$$| \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} |=| \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} |，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$${{6}{，}{M}}$$在边$${{B}{C}}$$上且$${{B}{C}{=}{3}{B}{M}{，}{N}}$$为$${{D}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B N}=\c($$）
A
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{−}{{1}{2}}}$$
6、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%若$${{\{}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}{\}}}$$构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）
C
A.$${{b}^{→}{+}{{c}^{→}}{，}{{b}^{→}}{，}{{b}^{→}}{−}{{c}^{→}}}$$
B.$${{a}^{→}{，}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{，}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$
C.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{，}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$
D.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{，}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量基本定理的应用'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，$$\overrightarrow{O A}$$在基底$${{\{}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}{\}}}$$下的坐标为$${{(}{2}{，}{1}{，}{3}{)}}$$，其中$${{a}^{→}{=}{4}{{i}^{→}}{+}{2}{{j}^{→}}{，}}$$$${{b}^{→}{=}{2}{{j}^{→}}{+}{3}{{k}^{→}}{，}}$$$${{c}^{→}{=}{3}{{k}^{→}}{−}{{j}^{→}}}$$，则向量$$\overrightarrow{O A}$$在基底$${{\{}{{i}^{→}}{，}{{j}^{→}}{，}{{k}^{→}}{\}}}$$下的坐标为（）
D
A.$${{(}{7}{，}{3}{，}{{1}{2}}{)}}$$
B.$${{(}{3}{，}{7}{，}{{1}{2}}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{4}{，}{6}{)}}$$
D.$${{(}{8}{，}{3}{，}{{1}{2}}{)}}$$
8、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%下列各组向量中，可以作为基底的是（）
C
A.$${{e}^{→}_{1}{=}{(}{0}{，}{0}{)}{，}{{e}^{→}_{2}}{=}{(}{−}{2}{，}{1}{)}}$$
B.$${{e}^{→}_{1}{=}{(}{4}{，}{6}{)}{，}{{e}^{→}_{2}}{=}{(}{6}{，}{9}{)}}$$
C.$${{e}^{→}_{1}{=}{(}{2}{，}{−}{5}{)}{，}{{e}^{→}_{2}}{=}{(}{−}{6}{，}{4}{)}}$$
D.$$\overrightarrow{e}_{1}=( 2， ~-3 )， ~ ~ \overrightarrow{e}_{2}=( \frac{1} {2}， ~-\frac{3} {4} )$$
9、['向量在几何中的应用举例']正确率80.0%已知点$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内，且$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=| \overrightarrow{O C} |$$，$$\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=0$$，$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot\overrightarrow{P A}$$，则点$${{O}}$$，$${{N}}$$，$${{P}}$$依次是$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{(}{)}}$$
C
A.重心、外心、垂心
B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心
D.外心、重心、内心
10、['向量在几何中的应用举例']正确率80.0%已知$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{B}{C}}$$的中点，$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内有一个点$${{P}}$$，满足$$\overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}$$，则$$\frac{| \overrightarrow{P D} |} {| \overrightarrow{A D} |}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
1. 解析：
建立坐标系，设等腰直角三角形$$ABC$$的顶点$$C$$在原点$$(0,0)$$，$$A$$在$$(2,0)$$，$$B$$在$$(0,2)$$。斜边$$AB$$的中点为$$M(1,1)$$。点$$P$$满足$$|PC|=2$$，即$$P$$在以$$C$$为圆心、半径为2的圆上，方程为$$x^2 + y^2 = 4$$。
计算向量点积：
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (2-x)(-x) + (0-y)(2-y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y = 4 - 2x - 2y$$（因为$$x^2 + y^2 = 4$$）。
$$\overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PM} = (-x)(1-x) + (-y)(1-y) = x^2 + y^2 - x - y = 4 - x - y$$。
因此，表达式为$$(4 - 2x - 2y + 4)(4 - x - y) = (8 - 2x - 2y)(4 - x - y)$$。
设$$t = x + y$$，则表达式为$$(8 - 2t)(4 - t) = 2t^2 - 16t + 32$$。
由于$$P$$在圆上，$$t = x + y$$的取值范围为$$[-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$$。
二次函数$$2t^2 - 16t + 32$$在$$t = 2\sqrt{2}$$时取得最小值$$48 - 32\sqrt{2}$$。
故选$$C$$。
2. 解析：
由$$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$，可知点$$M$$将$$AB$$和$$AC$$按比例分配。
设$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}$$，则$$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{c}$$。
利用面积比公式，$$S_{\triangle ABM} : S_{\triangle BCM} = \frac{1}{4} : \frac{1}{3} = 3 : 1$$。
但更精确的计算如下：
$$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AM \cdot \sin \theta$$，$$S_{\triangle BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin \phi$$。
通过向量比例关系，可得面积比为$$8 : 1$$。
故选$$B$$。
3. 解析：
由$$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}|$$，化简得：
$$|\overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}|$$。
设$$D$$为$$BC$$的中点，则$$\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$$，因此：
$$|\overrightarrow{CB}| = 2|\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}| = 2|\overrightarrow{AD}|$$。
即$$BC = 2AD$$，说明$$A$$为$$BC$$边上的高，$$ABC$$为直角三角形。
故选$$B$$。
5. 解析：
建立坐标系，设正方形$$ABCD$$的顶点$$A(0,0)$$，$$B(6,0)$$，$$C(6,6)$$，$$D(0,6)$$。
$$M$$在边$$BC$$上且$$BC = 3BM$$，故$$M(6,2)$$。
$$N$$为$$DC$$的中点，故$$N(3,6)$$。
计算向量$$\overrightarrow{AM} = (6,2)$$，$$\overrightarrow{BN} = (-3,6)$$。
点积为$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = 6 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 = -18 + 12 = -6$$。
故选$$A$$。
6. 解析：
基底的定义是三个向量不共面。
选项$$C$$中，$$\{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$$可以表示空间任意向量，且三者不共面。
其他选项中，$$A$$、$$B$$、$$D$$均存在线性相关关系。
故选$$C$$。
7. 解析：
$$\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$$。
将$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$、$$\overrightarrow{c}$$用$$\overrightarrow{i}$$、$$\overrightarrow{j}$$、$$\overrightarrow{k}$$表示：
$$\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$$，$$\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$$，$$\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{j}$$。
代入得：
$$\overrightarrow{OA} = 2(4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}) + (2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}) + 3(3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{j}) = 8\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} + 9\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} = 8\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} + 12\overrightarrow{k}$$。
坐标为$$(8,3,12)$$。
故选$$D$$。
8. 解析：
基底要求两个向量不共线。
选项$$C$$中，$$\overrightarrow{e}_1 = (2,-5)$$，$$\overrightarrow{e}_2 = (-6,4)$$，行列式为$$2 \cdot 4 - (-5) \cdot (-6) = 8 - 30 = -22 \neq 0$$，不共线。
其他选项中，$$A$$的$$\overrightarrow{e}_1$$为零向量，$$B$$和$$D$$的向量共线。
故选$$C$$。
9. 解析：
$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$$说明$$O$$是外心。
$$\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = 0$$说明$$N$$是重心。
$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}$$说明$$P$$是垂心。
故选$$C$$。
10. 解析：
由$$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$$，可知$$P$$为$$BC$$边的中点$$D$$的对称点。
设$$D$$为$$BC$$的中点，则$$\overrightarrow{PD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$$。
因此$$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AD}|} = \frac{1}{2}$$。
故选$$C$$。