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正确率40.0%已知$$a， b， c$$分别为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$三个内角$$A， B， C$$的对边，若$$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}} {b c}=1， \frac{c} {b}=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} C=\alpha$$）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
2、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的余弦公式'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$b^{2} \operatorname{s i n}^{2} C+c^{2} \operatorname{s i n}^{2} B=2 b c \operatorname{c o s} B \operatorname{c o s} C$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$是（）
C
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c，$$若$$\operatorname{s i n} A \cdot\operatorname{s i n} B \cdot\operatorname{s i n} C=\frac{1} {2}，$$且$$a b c=4，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率40.0%已知锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对边为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$$b=2 c \operatorname{s i n} B$$，则$$\operatorname{s i n} B+\operatorname{c o s} A$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} )$$
B.$$( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{3} {2} )$$
C.$$( 0， \sqrt{3} )$$
D.$$( 1， \sqrt{3} )$$
5、['正弦定理及其应用']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=1， b=\sqrt{3}， \angle A=3 0^{\circ}$$，则角$${{B}}$$等于（）
D
A.$${{3}{0}{°}}$$
B.$${{3}{0}{°}}$$或$${{1}{5}{0}{°}}$$
C.$${{6}{0}{°}}$$
D.$${{6}{0}{°}}$$或$${{1}{2}{0}{°}}$$
6、['正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=1 0， B=7 5^{0}， C=4 5^{0}$$，则$${{c}}$$等于（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {1 0}$$
C.$$\frac{1 0 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{1 0 \sqrt6} {3}$$
7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状']正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A. ~ B. ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$a {=} 2 b \operatorname{c o s} C$$，且$$a \operatorname{s i n} A \mathrm{=} 2 c \operatorname{s i n} B$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是（）
D
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\frac{\operatorname{s i n} A} {k}=\frac{\operatorname{s i n} B} {3}=\frac{\operatorname{s i n} C} {4} \left( \right. k$$为非零实数），则下列结论错误的是（）
D
A.当$${{k}{=}{5}}$$时，$${{△}{A}{B}{C}}$$是直角三角形
B.当$${{k}{=}{3}}$$时，$${{△}{A}{B}{C}}$$是锐角三角形
C.当$${{k}{=}{2}}$$时，$${{△}{A}{B}{C}}$$是钝角三角形
D.当$${{k}{=}{1}}$$时，$${{△}{A}{B}{C}}$$是钝角三角形
9、['正弦定理及其应用']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$所对边的长分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$\operatorname{s i n} A=\frac{1} {3}， b=\sqrt{3} \mathrm{s i n} B$$，则$${{a}}$$等于（）
D
A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '数量积的运算律']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，下列条件不能确定角$${{C}}$$为锐角的是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\operatorname{s i n} C > 0$$
B.$$a^{2}+b^{2} > c^{2}$$
C.$$a ~ : b ~ : c=4 ~ : 5 ~ : 6$$
D.$$\longrightarrow\times\longrightarrow> 0$$
1. 由余弦定理得：$$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{b c} = 2 \cos A = 1 \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = 60^\circ$$。又由$$\frac{c}{b} = \frac{1}{2}$$，设$$c = k$$，则$$b = 2k$$。由正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，代入得$$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$$。利用余弦定理求$$a$$：$$a = \sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc \cos A} = \sqrt{4k^{2}+k^{2}-2 \cdot 2k \cdot k \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3}k$$。因此$$\sin C = \frac{k \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}k} = \frac{1}{2}$$。答案为 A。
2. 将方程$$b^{2} \sin^{2} C + c^{2} \sin^{2} B = 2 b c \cos B \cos C$$两边除以$$b^{2} c^{2}$$，得$$\frac{\sin^{2} C}{c^{2}} + \frac{\sin^{2} B}{b^{2}} = \frac{2 \cos B \cos C}{b c}$$。由正弦定理$$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$$，设$$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$$，则方程化为$$k^{2} c^{2} + k^{2} b^{2} = 2 \cos B \cos C \cdot b c$$。整理得$$k^{2} (b^{2} + c^{2}) = 2 \cos B \cos C \cdot b c$$。注意到$$k = \frac{\sin A}{a}$$（正弦定理），代入得$$\frac{\sin^{2} A}{a^{2}} (b^{2} + c^{2}) = 2 \cos B \cos C \cdot \frac{b c}{a^{2}}$$。化简得$$\sin^{2} A (b^{2} + c^{2}) = 2 b c \cos B \cos C$$。由余弦定理$$b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2 b c \cos A$$，代入得$$\sin^{2} A (a^{2} + 2 b c \cos A) = 2 b c \cos B \cos C$$。进一步化简可得$$A = 90^\circ$$，因此为直角三角形。答案为 C。
3. 由$$\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2}$$及$$abc = 4$$，利用正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$，得$$abc = 8 R^{3} \sin A \sin B \sin C = 4$$。代入已知条件得$$8 R^{3} \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow R = 1$$。因此$$\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2}$$。设$$C = 90^\circ$$，则$$\sin A \sin B = \frac{1}{2}$$，且$$A + B = 90^\circ$$。由$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} \sin 2A$$，解得$$A = 45^\circ$$，$$B = 45^\circ$$。面积为$$\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 2R \sin A \cdot 2R \sin B = 2 \sin 45^\circ \sin 45^\circ = 1$$。答案为 A。
4. 由$$b = 2 c \sin B$$及正弦定理$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，得$$\sin C = \frac{1}{2}$$。因为是锐角三角形，$$C = 30^\circ$$。因此$$A + B = 150^\circ$$。$$\sin B + \cos A = \sin B + \cos (150^\circ - B)$$。展开得$$\sin B + \cos 150^\circ \cos B + \sin 150^\circ \sin B = \sin B - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = \frac{3}{2} \sin B - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B$$。其范围为$$( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} )$$。答案为 B。
5. 由正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，得$$\frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。因此$$B = 60^\circ$$或$$120^\circ$$。答案为 D。
6. 由正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$，且$$A = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$$，得$$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ} \Rightarrow c = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \sqrt{6}}{3}$$。答案为 D。
7. 由$$a = 2 b \cos C$$及余弦定理$$a = 2 b \cdot \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$$，化简得$$a^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} \Rightarrow b^{2} = c^{2} \Rightarrow b = c$$。又由$$a \sin A = 2 c \sin B$$及正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$，得$$\sin A = 2 \sin B \sin C$$。因为$$b = c$$，所以$$B = C$$，代入得$$\sin A = 2 \sin^{2} B$$。又$$A + 2 B = 180^\circ$$，解得$$A = 90^\circ$$，$$B = C = 45^\circ$$。因此为等腰直角三角形。答案为 D。
8. 由正弦定理$$\frac{\sin A}{k} = \frac{\sin B}{3} = \frac{\sin C}{4} = \frac{1}{2R}$$，得$$a : b : c = k : 3 : 4$$。对于选项 D，当$$k = 1$$时，边长比例为$$1 : 3 : 4$$，但$$1 + 3 = 4$$不满足三角形不等式，因此错误。答案为 D。
9. 由正弦定理$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，且$$b = \sqrt{3} \sin B$$，得$$\frac{a}{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3} \sin B}{\sin B} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为 D。
10. 选项 A 仅说明$$\sin C > 0$$，不能确定$$C$$为锐角；选项 B 由余弦定理知$$C$$为锐角；选项 C 通过计算最大角$$C$$的余弦为正，说明$$C$$为锐角；选项 D 表示向量点积为正，说明$$C$$为锐角。答案为 A。