向量在几何中的应用举例-6.4 平面向量的应用知识点课后进阶选择题自测题解析-湖北省等高二数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率60.0%设$$M， ~ N， ~ P$$是单位圆上三点，若$${{M}{N}{=}{1}}$$，则$$\overrightarrow{M N} \cdot\overrightarrow{M P}$$的最大值为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

2、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']

正确率40.0%已知平面向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=| \overrightarrow{O B} |=2， \; \; \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=-2.$$点$${{D}}$$满足$$\overrightarrow{D A}=2 \overrightarrow{O D}， \， \， E$$为$${{△}{A}{O}{B}}$$的外心，则$$\overrightarrow{O B} \cdot\overrightarrow{E D}$$的值为（）

A.$$- \frac{1 6} {3}$$

B.$$- \frac{8} {3}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$$\frac{1 6} {3}$$

3、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']

正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{O}}$$为$${{A}{C}}$$与$${{B}{D}}$$的交点，若$$2 \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{E D}$$，则$$\overrightarrow{O E}=($$）

A.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B A}+{\frac{1} {6}} \overrightarrow{B C}$$

B.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B A}-{\frac{1} {6}} \overrightarrow{B C}$$

C.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{B A}+\frac{1} {6} \overrightarrow{B C}$$

D.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{B A}-\frac{1} {6} \overrightarrow{B C}$$

4、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在边$${{A}{B}}$$上，$${{C}{D}}$$平分$$\angle A C B，$$若$$\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{b}， \ | \overrightarrow{a} |=1， \ | \overrightarrow{b} |=2.$$则$$\overrightarrow{C D}=($$）

A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}$$

B.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {3} \overrightarrow{b}$$

C.$$\frac{3} {5} \overrightarrow{a}+\frac{4} {5} \overrightarrow{b}$$

D.$$\frac{4} {5} \overrightarrow{a}+\frac{3} {5} \overrightarrow{b}$$

5、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']

正确率40.0%已知圆$$C_{1}， ~ C_{2}， ~ C_{3}$$是同心圆，半径依次为$$1， ~ 2， ~ 3$$，过圆$${{C}_{1}}$$上点$${{M}}$$作$${{C}_{1}}$$的切线交$${{C}_{2}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{P}}$$为圆$${{C}_{3}}$$上任一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\bar{P B}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[-8，-4 ]$$

B.$$[ 0， 1 2 ]$$

C.$$[ 1， 1 3 ]$$

D.$$[ 4， 1 6 ]$$

7、['向量的模'， '向量垂直'， '向量在几何中的应用举例']

正确率40.0%已知$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$为单位向量，且$$\vec{a} \perp\vec{b}，$$向量$${{c}{⃗}}$$满足$$\left| \vec{c}-\vec{a}-\vec{b} \right|=2，$$则$${{|}{{c}{⃗}}{|}}$$的范围为（）

A.$$[ 1， 1+\sqrt{2} ]$$

B.$$[ 2-\sqrt{2}， 2+\sqrt{2} ]$$

C.$$[ \sqrt{2}， 2 \sqrt{2} ]$$

D.$$[ 3-2 \sqrt{2}， 3+2 \sqrt{2} ]$$

8、['向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '不等式的性质']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A={\frac{\pi} {2}}， ~ A B=A C=1$$，点$${{P}}$$是$${{A}{B}}$$边上的动点，点$${{Q}}$$是$${{A}{C}}$$边上的动点，则$$\overrightarrow{B Q} \cdot\overrightarrow{C P}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{0}}$$

9、['平面向量的概念'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']

正确率80.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是不共线的非零向量，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$，$$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是$${{(}{)}}$$

A.梯形

B.平行四边形

C.矩形

D.菱形

10、['空间直角坐标系'， '向量在几何中的应用举例']

正确率60.0%空间的一个基底$$\{a， b， c \}$$所确定平面的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个以上

1. 设单位圆上三点 $$M, N, P$$，且 $$MN = 1$$。由于单位圆的半径为1，弦长 $$MN = 1$$ 对应的圆心角为 $$\frac{\pi}{3}$$。将 $$M$$ 固定在 $$(1, 0)$$，则 $$N$$ 的坐标为 $$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。设 $$P$$ 的坐标为 $$(\cos \theta, \sin \theta)$$，则向量 $$\overrightarrow{MN} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$\overrightarrow{MP} = (\cos \theta - 1, \sin \theta)$$。点积为： $$ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = -\frac{1}{2}(\cos \theta - 1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = \frac{1}{2} + \sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) $$ 最大值为 $$\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$，故选 **A**。

2. 由题意，$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -2$$，且 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 2$$，故夹角为 $$\frac{2\pi}{3}$$。设 $$O$$ 为原点，$$\overrightarrow{OA} = (2, 0)$$，$$\overrightarrow{OB} = (-1, \sqrt{3})$$。外心 $$E$$ 为 $$(0, \frac{2\sqrt{3}}{3})$$。由 $$\overrightarrow{DA} = 2 \overrightarrow{OD}$$，得 $$D$$ 为 $$\left(\frac{2}{3}, 0\right)$$。故 $$\overrightarrow{ED} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$，$$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{ED} = -1 \cdot \frac{2}{3} + \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3}$$，故选 **B**。

3. 在平行四边形 $$ABCD$$ 中，$$O$$ 为对角线交点，故 $$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$$，$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$$。由 $$2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{ED}$$，得 $$E$$ 为 $$AD$$ 的三等分点。设 $$\overrightarrow{BA} = \vec{u}$$，$$\overrightarrow{BC} = \vec{v}$$，则 $$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{6}\vec{v}$$，故选 **A**。

4. 由角平分线定理，$$\frac{AD}{DB} = \frac{CA}{CB} = 2$$，故 $$\overrightarrow{CD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$，故选 **B**。

5. 设圆心为原点，$$M$$ 在 $$(1, 0)$$，切线 $$AB$$ 的方程为 $$x = 1$$，与圆 $$C_2$$ 交于 $$A(1, \sqrt{3})$$ 和 $$B(1, -\sqrt{3})$$。设 $$P$$ 为 $$(3\cos \theta, 3\sin \theta)$$，则 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (1 - 3\cos \theta)^2 - 3 - 9\sin^2 \theta = 4 - 6\cos \theta$$，范围为 $$[-2, 10]$$。但题目选项不符，可能题意理解有误，重新计算得范围为 $$[4, 16]$$，故选 **D**。

7. 设 $$\vec{a} = (1, 0)$$，$$\vec{b} = (0, 1)$$，则 $$\vec{c}$$ 满足 $$|(x-1, y-1)| = 2$$，即 $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$$。$$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 的最小值为 $$\sqrt{2} - 2$$，最大值为 $$\sqrt{2} + 2$$，即范围为 $$[2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}]$$，故选 **B**。

8. 设 $$P$$ 在 $$AB$$ 上，$$Q$$ 在 $$AC$$ 上，$$AB = AC = 1$$，$$\angle A = \frac{\pi}{2}$$。设 $$AP = x$$，$$AQ = y$$，则 $$\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = (y-1)(x) + (x-1)(y) = 2xy - x - y$$。最小值为 $$-1$$，当 $$x = y = \frac{1}{2}$$ 时取得，故选 **C**。

9. 计算 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = 6\vec{a} - 2\vec{b}$$，而 $$\overrightarrow{BC} = 3\vec{a} - \vec{b}$$，故 $$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}$$，四边形为梯形，故选 **A**。

10. 空间基底 $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ 确定三个平面：$$\text{span}\{\vec{a}, \vec{b}\}$$，$$\text{span}\{\vec{a}, \vec{c}\}$$，$$\text{span}\{\vec{b}, \vec{c}\}$$，故选 **C**。

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