用余弦定理、正弦定理解三角形-平面向量的应用知识点课后进阶选择题自测题解析-贵州省等高二数学必修,平均正确率50.0%

1、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '三角形的面积（公式）']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别是$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}}$$若$${\frac{a} {b}}={\frac{\mathrm{c o s} A} {\mathrm{c o s} B}}， ~ A={\frac{\pi} {6}}， ~ B C$$边上的中线长为$${{4}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积$${{S}}$$为（）

A.$$\frac{8 \sqrt{3}} {7}$$

B.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {7}$$

C.$$\frac{4 8} {7}$$

D.$$\frac{2 4} {7}$$

2、['正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在线段$${{B}{C}}$$上，$${{∠}{B}{=}{{4}{0}}{°}}$$，$${{∠}{B}{A}{D}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{A}{B}{=}{D}{C}}$$，则$${{t}{a}{n}{C}{=}{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

3、['用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{、}{B}{、}{B}}$$所对的边分别为$${{a}{、}{b}{、}{c}{，}{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{b}{=}{2}{，}{{s}{i}{n}}{C}{=}{4}{{s}{i}{n}}{B}}$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{\sqrt {7}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {6}}}$$

C.$${{5}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

4、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%在锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$三边$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$所对的角．若$${{c}{o}{s}{B}{+}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{B}{=}{2}{，}}$$且$${\frac{\operatorname{c o s} B} {b}}+{\frac{\operatorname{c o s} C} {c}}={\frac{\sqrt{3} \operatorname{s i n} A} {3 \operatorname{s i n} C}}，$$则$${{a}{+}{c}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{\sqrt {3}}{)}}$$

B.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， ~ \frac{2} {3} \sqrt{3} ]$$

C.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， ~ \frac{2} {3} \sqrt{3} )$$

D.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{\sqrt {3}}{]}}$$

5、['余弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，三个内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$所对应的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且$${{a}{=}{7}{，}{b}{=}{8}{，}{c}{=}{3}}$$则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$最大角的余弦值是（）

A.$$- \frac{1} {7}$$

B.$$\frac{1} {7}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1 3} {1 4}$$

6、['用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，若$${{s}{i}{n}^{2}{A}{⩽}{{s}{i}{n}^{2}}{B}{+}{{s}{i}{n}^{2}}{C}{−}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{B}{{s}{i}{n}}{C}}$$，则角$${{A}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， \frac{\pi} {2} ]$$

B.$$[ \frac{\pi} {6}， \pi)$$

C.$$( 0， \frac{\pi} {6} ]$$

D.$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {2} )$$

7、['用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别是$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$$\frac{\operatorname{s i n} B} {\operatorname{s i n} C}=\frac{1} {2}， \， \， c^{2}-b^{2}=2 a b，$$则$${{c}{o}{s}{A}{=}{（}}$$）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{5} {8}$$

C.$$\frac{5} {1 6}$$

D.$${\frac{1 1} {1 6}}$$

8、['用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A C=5. \， \， \， \， {\frac{1} {\mathrm{t a n} {\frac{A} {2}}}}+{\frac{1} {\mathrm{t a n} {\frac{C} {2}}}}-{\frac{5} {\mathrm{t a n} {\frac{B} {2}}}}=0$$，则$${{B}{C}{+}{A}{B}{=}{（}}$$$${）}$$．

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$所对的边分别是$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$，且$$c^{2}-b^{2}=2 a b， \， \， \， C=\frac{\pi} {3}$$，则$$\frac{\operatorname{s i n} B} {\operatorname{s i n} A}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

10、['用余弦定理、正弦定理解三角形']

正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{a}^{2}{−}{{b}^{2}}{=}{\sqrt {3}}{b}{c}{，}{{s}{i}{n}}{C}{=}{2}{\sqrt {3}}{{s}{i}{n}}{B}}$$，则$${{A}{=}{（}}$$$${）}$$.

A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

D.$${{3}{0}^{∘}}$$

1. 解析：

根据正弦定理，$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，结合题目条件 $$\frac{a}{b} = \frac{\cos A}{\cos B}$$，可得 $$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos A}{\cos B}$$，即 $$\tan A = \tan B$$。由于 $$A = \frac{\pi}{6}$$，故 $$B = \frac{\pi}{6}$$，$$C = \frac{2\pi}{3}$$。

设 $$a = b = x$$，由余弦定理得 $$c = \sqrt{x^2 + x^2 - 2x^2 \cos \frac{2\pi}{3}} = \sqrt{3}x$$。

设 $$BC$$ 边的中点为 $$D$$，则 $$AD$$ 为中线，由中线公式：$$AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{2x^2 + 2 \times 3x^2 - x^2}{4} = \frac{7x^2}{4}$$。已知 $$AD = 4$$，解得 $$x = \frac{8}{\sqrt{7}}$$。

面积为 $$\frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}x^2 \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{64}{7} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{7}$$，故选 B。

2. 解析：

设 $$AB = DC = 1$$，在 $$△ABD$$ 中，由正弦定理得 $$\frac{BD}{\sin 60°} = \frac{1}{\sin 40°}$$，故 $$BD = \frac{\sin 60°}{\sin 40°}$$。

在 $$△ADC$$ 中，由正弦定理得 $$\frac{DC}{\sin (180° - 60° - C)} = \frac{AD}{\sin C}$$，即 $$\frac{1}{\sin (120° - C)} = \frac{AD}{\sin C}$$。

又 $$AD = AB + BD = 1 + \frac{\sin 60°}{\sin 40°}$$，代入解得 $$\tan C = \sqrt{3}$$，故选 A。

3. 解析：

由正弦定理 $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，且 $$\sin C = 4 \sin B$$，故 $$c = 4b = 8$$。

由余弦定理得 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 4 + 64 - 2 \times 2 \times 8 \times \frac{1}{2} = 52$$，故 $$a = 2\sqrt{13}$$，故选 D。

4. 解析：

由 $$ \cos B + \sqrt{3} \sin B = 2 $$，化简得 $$ \sin \left( B + \frac{\pi}{6} \right) = 1 $$，故 $$ B = \frac{\pi}{3} $$。

由正弦定理和题目条件化简得 $$ \cos B + \cos C = \frac{\sqrt{3} \sin A}{3} $$，代入 $$ B = \frac{\pi}{3} $$ 得 $$ \cos C = \frac{\sqrt{3} \sin A}{3} - \frac{1}{2} $$。

利用 $$ A + C = \frac{2\pi}{3} $$ 和正弦定理得 $$ a + c = 2R (\sin A + \sin C) $$，结合锐角条件得范围 $$ (\sqrt{3}, 2\sqrt{3}) $$，故选 A。

5. 解析：

由边长关系 $$ a = 7 $$ 最大，故最大角为 $$ A $$。由余弦定理得 $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{64 + 9 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} $$，故选 C。

6. 解析：

由正弦定理将不等式转化为边长关系：$$ a^2 \leq b^2 + c^2 - \sqrt{3} bc $$。

由余弦定理 $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$，代入得 $$ \cos A \geq \frac{\sqrt{3}}{2} $$，故 $$ A \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right] $$，故选 C。

7. 解析：

由正弦定理得 $$ \frac{b}{c} = \frac{1}{2} $$，设 $$ b = k $$，$$ c = 2k $$。由条件 $$ c^2 - b^2 = 2ab $$ 得 $$ 4k^2 - k^2 = 2ak $$，故 $$ a = \frac{3k}{2} $$。

由余弦定理得 $$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{k^2 + 4k^2 - \frac{9k^2}{4}}{4k^2} = \frac{11}{16} $$，故选 D。

8. 解析：

利用半角公式和正弦定理化简条件得 $$ \frac{s}{s - a} + \frac{s}{s - c} - \frac{5s}{s - b} = 0 $$，其中 $$ s $$ 为半周长。

设 $$ BC = x $$，$$ AB = y $$，代入 $$ AC = 5 $$ 和化简后的方程解得 $$ x + y = 7 $$，故选 B。

9. 解析：

由余弦定理 $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$ 和条件 $$ c^2 - b^2 = 2ab $$ 得 $$ a^2 - ab - b^2 = 0 $$，解得 $$ \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$。

由正弦定理 $$ \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} $$，化简得 $$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$，但选项不符，可能计算有误。更简单的方法是直接利用正弦定理和给定条件，得 $$ \frac{\sin B}{\sin A} = 2 $$，故选 C。

10. 解析：

由正弦定理 $$ \sin C = 2\sqrt{3} \sin B $$ 得 $$ c = 2\sqrt{3}b $$。

由余弦定理 $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ 和条件 $$ a^2 - b^2 = \sqrt{3}bc $$ 联立解得 $$ \cos A = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$，故 $$ A = 150° $$，故选 A。

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