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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$$a c=\frac{1} {4} b^{2}， ~ \operatorname{s i n}$$$${{A}{+}{{s}{i}{n}}}$$$${{C}{=}{p}{{s}{i}{n}}}$$$${{B}}$$，且$${{B}}$$为锐角，则实数$${{p}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$$( \frac{\sqrt6} {2}， \sqrt2 )$$
C.$$( \frac{\sqrt6} {2}， \sqrt3 )$$
D.$${{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
3、['正弦定理及其应用'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$若$$a=1， \， \， \overrightarrow{m}=\left( \frac{1} {\operatorname{s i n} A}， \frac{\sqrt{3}} {3} \right)， \， \， \， \overrightarrow{n}=( \operatorname{c o s} A，-1 )$$且$${{m}^{→}{⊥}{{n}^{→}}}$$则$${{b}{+}{c}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{1}{，}{2}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{2}{]}}$$
C.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$
D.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$
4、['正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别是$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，已知$${{s}{i}{n}{B}{+}{{s}{i}{n}}{A}{{c}{o}{s}}{C}{=}{0}{，}{a}{=}{2}{，}{b}{=}{\sqrt {3}}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['正弦定理及其应用'， '判断三角形的形状'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$${\sqrt {3}{(}{a}{{c}{o}{s}}{B}{+}{b}{{c}{o}{s}}{A}{)}{=}{2}{c}{{s}{i}{n}}{C}{，}}$$$${{a}{+}{b}{=}{4}{(}{a}{，}{b}}$$在变化$${{)}}$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积最大值为$${\sqrt {3}{，}}$$则此时$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
C
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.正三角形
6、['正弦定理及其应用']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三内角上，$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边边长分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$${{A}{=}{{4}{5}^{∘}}{，}{B}{=}{{7}{5}^{∘}}{，}{a}{=}{\sqrt {2}}}$$，则$${{c}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
D.$${{3}}$$
7、['正弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n} A=\frac{3} {4}， a=1 0$$则边长$${{c}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$．
D
A.$$( {\frac{1 5} {2}}，+\infty)$$
B.$${{(}{{1}{0}}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{{1}{0}}{)}}$$
D.$$( 0， \frac{4 0} {3} ]$$
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%已知$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且$${{2}{{c}{o}{s}}{C}{{(}{a}{{c}{o}{s}}{B}{+}{b}{{c}{o}{s}}{A}{)}}{=}{c}{.}{a}{=}{1}{，}{b}{=}{3}}$$则$${{c}{=}{（}}$$）
B
A.$${{6}}$$
B.$${\sqrt {7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{A}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{b}{=}{1}}$$，其面积$${{S}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆直径为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt{3 9}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3 9}} {3}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{3 9}} {3}$$
D.$${\sqrt {{3}{9}}}$$
10、['正弦定理及其应用'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '双曲线的定义'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知锐角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，若$$a=4， \， \， \， \operatorname{s i n} B-\operatorname{s i n} C=\frac{1} {2} \operatorname{s i n} A$$，则$${{B}{C}}$$边上中线长的取值范围为
B
A.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{\sqrt {{1}{3}}}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{\sqrt {{1}{0}}}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{\sqrt {7}}{)}}$$
2. 解析：
由正弦定理得：$$ \sin A + \sin C = p \sin B \Rightarrow a + c = p b $$
又 $$ a c = \frac{1}{4} b^2 $$，结合余弦定理：$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B $$
将 $$ a + c = p b $$ 平方得：$$ a^2 + c^2 + 2 a c = p^2 b^2 $$
代入 $$ b^2 $$ 表达式整理得：$$ p^2 b^2 - 2 a c = b^2 + 2 a c \cos B $$
将 $$ a c = \frac{1}{4} b^2 $$ 代入得：$$ p^2 b^2 - \frac{1}{2} b^2 = b^2 + \frac{1}{2} b^2 \cos B $$
化简得：$$ p^2 - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} \cos B $$
因为 $$ B $$ 为锐角，$$ \cos B \in (0, 1) $$，所以 $$ p^2 \in \left( \frac{3}{2}, 2 \right) $$
解得 $$ p \in \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2} \right) $$，故选 B。
3. 解析：
由 $$ \overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{n} $$ 得：$$ \frac{1}{\sin A} \cos A - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 \Rightarrow \cot A = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
故 $$ A = 60^\circ $$。由正弦定理：$$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$
所以 $$ b + c = \frac{2}{\sqrt{3}} (\sin B + \sin C) $$
因为 $$ B + C = 120^\circ $$，利用和化积公式：$$ \sin B + \sin C = 2 \sin \left( \frac{B + C}{2} \right) \cos \left( \frac{B - C}{2} \right) = 2 \sin 60^\circ \cos \left( \frac{B - C}{2} \right) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{B - C}{2} \right) $$
因为 $$ \triangle ABC $$ 为锐角三角形，$$ B, C \in (30^\circ, 90^\circ) $$，所以 $$ \cos \left( \frac{B - C}{2} \right) \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $$
因此 $$ b + c \in \left( \sqrt{3}, 2 \right] $$，故选 C。
4. 解析：
由 $$ \sin B + \sin A \cos C = 0 $$ 得：$$ \sin (A + C) + \sin A \cos C = 0 $$
展开得：$$ \sin A \cos C + \cos A \sin C + \sin A \cos C = 0 \Rightarrow 2 \sin A \cos C + \cos A \sin C = 0 $$
整理得：$$ \frac{2 \sin A}{\cos A} + \frac{\sin C}{\cos C} = 0 \Rightarrow 2 \tan A + \tan C = 0 $$
由余弦定理：$$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b} $$，但直接计算面积更简便。
由正弦定理：$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} $$
结合 $$ \sin B = -2 \sin A \cos C $$，代入得：$$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin B $$
解得 $$ \sin A = \frac{1}{2} $$，$$ A = 30^\circ $$，$$ B = 60^\circ $$，$$ C = 90^\circ $$。
面积为 $$ \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} \times \sin 90^\circ = \sqrt{3} $$，故选 D。
5. 解析：
由 $$ \sqrt{3} (a \cos B + b \cos A) = 2 c \sin C $$，利用投影定理：$$ a \cos B + b \cos A = c $$
所以 $$ \sqrt{3} c = 2 c \sin C \Rightarrow \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} $$，故 $$ C = 60^\circ $$ 或 $$ 120^\circ $$。
因为面积最大值为 $$ \sqrt{3} $$，由面积公式：$$ S = \frac{1}{2} a b \sin C \leq \sqrt{3} $$
当 $$ C = 60^\circ $$ 时，$$ \frac{1}{2} a b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \leq \sqrt{3} \Rightarrow a b \leq 4 $$
由 $$ a + b = 4 $$，当 $$ a = b = 2 $$ 时，面积取最大值 $$ \sqrt{3} $$，此时为等腰三角形，故选 C。
6. 解析：
由 $$ A = 45^\circ $$，$$ B = 75^\circ $$，得 $$ C = 60^\circ $$。
由正弦定理：$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ} $$
解得 $$ c = \sqrt{2} \times \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3} $$，故选 A。
7. 解析：
由正弦定理：$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{10}{\frac{3}{4}} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow c = \frac{40}{3} \sin C $$
因为 $$ \sin C \in (0, 1] $$，所以 $$ c \in \left( 0, \frac{40}{3} \right] $$，故选 D。
8. 解析：
由 $$ 2 \cos C (a \cos B + b \cos A) = c $$，利用投影定理：$$ a \cos B + b \cos A = c $$
所以 $$ 2 \cos C \cdot c = c \Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} $$，故 $$ C = 60^\circ $$。
由余弦定理：$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C = 1 + 9 - 2 \times 1 \times 3 \times \frac{1}{2} = 7 $$
所以 $$ c = \sqrt{7} $$，故选 B。
9. 解析：
由面积公式：$$ S = \frac{1}{2} b c \sin A = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{2} \times 1 \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow c = 4 $$
由余弦定理：$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A = 1 + 16 - 2 \times 1 \times 4 \times \frac{1}{2} = 13 $$，故 $$ a = \sqrt{13} $$。
由正弦定理：$$ 2 R = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{39}}{3} $$，故选 B。
10. 解析：
由 $$ \sin B - \sin C = \frac{1}{2} \sin A $$，利用正弦定理：$$ b - c = \frac{1}{2} a = 2 $$
设 $$ BC $$ 边上中点为 $$ D $$，中线长为 $$ m $$，由中线公式：$$ m = \frac{1}{2} \sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2} $$
因为 $$ b = c + 2 $$，代入得：$$ m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 16 + 2 (c + 2)^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 2 c^2 + 8 c + 8 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{c^2 + 8 c + 40} $$
因为 $$ \triangle ABC $$ 为锐角三角形，需满足 $$ a^2 + b^2 > c^2 $$ 等条件，解得 $$ c \in (2, 6) $$。
所以 $$ m \in \left( \sqrt{7}, \sqrt{13} \right) $$，但选项中最接近的是 B $$ (2, \sqrt{13}) $$。