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正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$所对的边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$${{s}{i}{n}{A}}$$：$${{s}{i}{n}{B}}$$：$${{s}{i}{n}{C}{=}{3}}$$：$${{4}}$$：$${{5}}$$，则下列结论错误的是$${{(}{)}}$$
A.$${{a}}$$：$${{b}}$$：$${{c}{=}{3}}$$：$${{4}}$$：$${{5}}$$
B.$${{△}{A}{B}{C}}$$为直角三角形
C.若$${{b}{=}{4}}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆半径为$${{5}}$$
D.若$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，满足$$\overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$$，则$${{△}{A}{P}{B}}$$与$${{△}{B}{P}{C}}$$的面积相等
3、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，且$${{2}{{s}{i}{n}}{A}{+}{{s}{i}{n}}{B}{=}{2}{{s}{i}{n}}{C}{{c}{o}{s}}{B}}$$，若$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$S=\frac{\sqrt{3}} {2} c$$，则$${{a}{b}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{2}{8}}$$
D.$${{4}{8}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，已知$${{(}{{s}{i}{n}}{A}{+}{{s}{i}{n}}{B}{)}{(}{a}{−}{b}{)}{=}{{s}{i}{n}}{C}{(}{b}{+}{c}{)}}$$，角$${{A}}$$的内角平分线$${{A}{D}}$$的长为$${{4}}$$，则$${{b}{c}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{6}{4}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
8、['余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，“$${{c}{o}{s}{A}{>}{0}}$$”是“$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形”的$${{(}{)}}$$
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['正弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理']正确率80.0%在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，已知$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$分别是角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边，且$${\sqrt {3}{b}{=}{2}{a}{{s}{i}{n}}{B}}$$，$${{a}{=}{6}}$$，则$${{b}{+}{c}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{[}{6}{，}{{1}{2}}{]}}$$
B.$${{(}{6}{，}{{1}{2}}{]}}$$
C.$${{(}{6}{\sqrt {3}}{，}{{1}{2}}{]}}$$
D.$${{[}{6}{\sqrt {3}}{，}{{1}{2}}{]}}$$
以下是各题目的详细解析：
1. 题目解析：
由正弦定理 $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$，可得 $$ a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5 $$，因此选项 A 正确。
由边长比例 $$ 3 : 4 : 5 $$ 可知，$$ \triangle ABC $$ 为直角三角形（勾股定理），选项 B 正确。
若 $$ b = 4 $$，则 $$ a = 3 $$，$$ c = 5 $$。外接圆半径 $$ R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{5}{2 \times \frac{5}{10}} = 5 $$，选项 C 正确。
对于选项 D，设点 $$ P $$ 满足 $$ \overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} $$，通过向量分析可得 $$ P $$ 为重心。但 $$ \triangle APB $$ 与 $$ \triangle BPC $$ 的面积不一定相等，除非 $$ P $$ 为特定点。因此选项 D 错误。
综上所述，错误的选项是 D。
3. 题目解析：
由条件 $$ 2 \sin A + \sin B = 2 \sin C \cos B $$，利用正弦定理和余弦定理化简，可得 $$ 2a + b = 2c \cos B $$。
进一步推导得 $$ \cos B = \frac{2a + b}{2c} $$，结合余弦定理 $$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $$，联立解得 $$ a = 2b $$。
已知面积 $$ S = \frac{\sqrt{3}}{2} c $$，由面积公式 $$ S = \frac{1}{2} ab \sin C $$，代入 $$ a = 2b $$ 得 $$ \frac{\sqrt{3}}{2} c = \frac{1}{2} \times 2b \times b \times \sin C $$，即 $$ \sqrt{3} c = 2b^2 \sin C $$。
由正弦定理 $$ \frac{c}{\sin C} = 2R $$，代入得 $$ \sqrt{3} \times 2R \sin C = 2b^2 \sin C $$，化简得 $$ b^2 = \sqrt{3} R $$。
由于 $$ R $$ 为外接圆半径，最小化 $$ ab $$ 时，$$ ab = 2b \times b = 2b^2 = 2 \times 12 = 24 $$（当 $$ \sin C = 1 $$ 时取得最小值）。
因此，$$ ab $$ 的最小值为 24，选项 B 正确。
4. 题目解析：
由条件 $$ (\sin A + \sin B)(a - b) = \sin C (b + c) $$，利用正弦定理化简得 $$ (a + b)(a - b) = c(b + c) $$，即 $$ a^2 - b^2 = bc + c^2 $$。
整理得 $$ a^2 = b^2 + c^2 + bc $$，结合余弦定理 $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$，联立得 $$ \cos A = -\frac{1}{2} $$，即 $$ A = 120^\circ $$。
角平分线 $$ AD $$ 的长度公式为 $$ AD = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c} = 4 $$，代入 $$ A = 120^\circ $$ 得 $$ \frac{2bc \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{b + c} = 4 $$，即 $$ \sqrt{3} bc = 4(b + c) $$。
由不等式 $$ b + c \geq 2\sqrt{bc} $$，代入得 $$ \sqrt{3} bc \geq 8 \sqrt{bc} $$，即 $$ bc \geq \frac{64}{3} $$。
但更精确的最小值在 $$ b = c $$ 时取得，解得 $$ bc = 32 $$。
因此，$$ bc $$ 的最小值为 32，选项 B 正确。
8. 题目解析：
“$$ \cos A > 0 $$” 仅说明角 $$ A $$ 为锐角，但 $$ \triangle ABC $$ 为锐角三角形需要所有角均为锐角，因此是必要不充分条件。
正确答案为 B。
10. 题目解析：
由条件 $$ \sqrt{3} b = 2a \sin B $$，利用正弦定理得 $$ \sqrt{3} \times 2R \sin B = 2 \times 2R \sin A \times \sin B $$，化简得 $$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} $$，即 $$ A = 60^\circ $$。
在锐角三角形中，角 $$ B $$ 和 $$ C $$ 需满足 $$ 0^\circ < B, C < 90^\circ $$ 且 $$ B + C = 120^\circ $$。
由正弦定理，$$ b + c = 2R (\sin B + \sin C) = \frac{a}{\sin A} (\sin B + \sin C) = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \times 2 \sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = 4\sqrt{3} \times \sin 60^\circ \cos \frac{B - C}{2} = 6 \cos \frac{B - C}{2} $$。
由于 $$ B $$ 和 $$ C $$ 为锐角，$$ \cos \frac{B - C}{2} $$ 的取值范围为 $$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right] $$，因此 $$ b + c \in (6, 12] $$。
正确答案为 B。