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正确率40.0%已知$${{a}}$$是单位向量，若向量$$b ( b \neq a )$$满足$${{b}{−}{a}}$$与$${{a}}$$成$${{6}{0}^{∘}}$$角，则$${{|}{b}{|}}$$的取值范围是（）
C
A.$$\left( \frac{1} {2}， ~+\infty\right)$$
B.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {3}， \enspace+\infty\right)$$
C.$$( 1， ~+\infty)$$
D.$$\left( \frac{2 \sqrt{3}} {3}， ~+\infty\right)$$
3、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义'， '与圆有关的最值问题']正确率19.999999999999996%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{| A B |}=| \overrightarrow{A C} |=4， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=8$$，平面$${{A}{B}{C}}$$内一点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{P B}+3 \overrightarrow{P C}，$$若$$| \overrightarrow{P M} |=2$$，则$$\overrightarrow{M A} \cdot\overrightarrow{M B}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{6}}$$
4、['圆的一般方程'， '平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%在扇形$${{A}{O}{B}}$$中，$$\angle A O B={\frac{5 \pi} {6}}， \， \， \， C$$在弧$${{A}{B}}$$上，且$$\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}，$$则$${{x}}$$与$${{y}}$$满足关系式（）
A
A.$$x^{2}-\sqrt{3} x y+y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-x y+y^{2}=1$$
C.$$x^{2}+y^{2}=1$$
D.$$x^{2}+x y+y^{2}=1$$
5、['平面向量的概念'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， ~ ~ A D=3$$，点$${{F}}$$为$${{C}{D}}$$的中点，点$${{E}}$$在$${{B}{C}}$$边上，若$$\overrightarrow{A F} \cdot\overrightarrow{D E}=-4，$$则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B F}$$的值为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['正弦定理及其应用'， '三角形的“四心”'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的线性运算']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=9， \， \， \， \operatorname{s i n} B=\operatorname{c o s} A \cdot\operatorname{s i n} C， \， \， \， S_{\triangle A B C}=6， \， \， \， P$$为线段$${{A}{B}}$$上的点，且$$\overrightarrow{C P}=x \cdot\frac{\overrightarrow{C A}} {\overrightarrow{C A}}+y \cdot\frac{\overrightarrow{C B}} {| \overrightarrow{C B} |}.$$则$${{x}{y}}$$的最大值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在边长为$${{2}}$$的菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\angle B A D=6 0^{\circ}， \ E$$是$${{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{A E}=$$
D
A.$$\frac{3+\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{9} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{9}}$$
8、['空间向量基本定理的理解'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%已知$$\{\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{c} \}$$是空间向量的一个基底，则可以与向量$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}， \; \; \overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$构成基底的向量是（）
D
A.$${{a}^{→}}$$
B.$${{b}^{→}}$$
C.$$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$$
D.$$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{c}$$
9、['向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知非零向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$满足$$( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} ) \cdot\overrightarrow{B C}=0$$，且$$\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C B}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.等腰非直角三角形
B.直角非等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
10、['向量在几何中的应用举例']正确率80.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心是$${{G}}$$，$${{C}{A}}$$的中点为$${{M}}$$，且$${{A}}$$，$${{M}}$$，$${{G}}$$三点的坐标分别为$$( 6， 6 )， ( 7， 4 )， ( \frac{1 6} {3}， \frac{8} {3} )$$，则$${{|}{B}{C}{|}}$$为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{4}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${\frac{1} {2}} \sqrt{1 0}$$
D.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
第2题解析：
设向量$$a$$为单位向量，$$b$$满足$$b - a$$与$$a$$成$$60^\circ$$角。根据向量夹角公式：
$$\cos 60^\circ = \frac{(b - a) \cdot a}{|b - a| \cdot |a|} = \frac{b \cdot a - |a|^2}{|b - a| \cdot 1} = \frac{b \cdot a - 1}{|b - a|}$$
因为$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$，所以：
$$\frac{b \cdot a - 1}{|b - a|} = \frac{1}{2}$$
设$$|b| = r$$，且$$b \cdot a = r \cos \theta$$（$$\theta$$为$$a$$与$$b$$的夹角），代入得：
$$\frac{r \cos \theta - 1}{\sqrt{r^2 - 2r \cos \theta + 1}} = \frac{1}{2}$$
平方整理后得到：
$$3r^2 - 10r \cos \theta + 3 = 0$$
解关于$$\cos \theta$$的方程，要求$$\cos \theta \in [-1, 1]$$，可得$$r > \frac{\sqrt{3}}{3}$$。因此答案为：
$$\boxed{B}$$
第3题解析：
在$$△ABC$$中，$$|AB| = |AC| = 4$$，且$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8$$。由点积公式：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \cdot |AC| \cos A = 16 \cos A = 8 \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2}$$
因此$$A = 60^\circ$$，$$△ABC$$为等边三角形。
设坐标系使$$A$$在原点，$$AB$$沿$$x$$轴，则$$B = (4, 0)$$，$$C = (2, 2\sqrt{3})$$。
由$$\overrightarrow{PA} = 2 \overrightarrow{PB} + 3 \overrightarrow{PC}$$，得$$P$$的坐标满足：
$$-P = 2(B - P) + 3(C - P) \Rightarrow P = \frac{2B + 3C}{6} = \left(\frac{14}{6}, \frac{6\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{7}{3}, \sqrt{3}\right)$$
设$$M$$满足$$|PM| = 2$$，则$$M$$在以$$P$$为中心、半径为2的圆上。
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (A - M) \cdot (B - M) = A \cdot B - M \cdot (A + B) + |M|^2$$
代入坐标计算，最大值出现在$$M$$沿$$(A + B)$$方向时，经计算得最大值为$$21$$。
答案为：
$$\boxed{B}$$
第4题解析：
在扇形$$AOB$$中，$$\angle AOB = \frac{5\pi}{6}$$，设$$|OA| = |OB| = 1$$。向量$$\overrightarrow{OC} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB}$$，且$$|OC| = 1$$。
计算$$|OC|^2$$：
$$|OC|^2 = x^2 |OA|^2 + y^2 |OB|^2 + 2xy \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x^2 + y^2 + 2xy \cos \frac{5\pi}{6} = 1$$
因为$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，代入得：
$$x^2 + y^2 - \sqrt{3}xy = 1$$
答案为：
$$\boxed{A}$$
第5题解析：
矩形$$ABCD$$中，设$$A = (0, 0)$$，$$B = (2, 0)$$，$$C = (2, 3)$$，$$D = (0, 3)$$，$$F$$为$$CD$$中点，故$$F = (1, 3)$$。
设$$E = (2, y)$$，则$$\overrightarrow{AF} = (1, 3)$$，$$\overrightarrow{DE} = (2, y - 3)$$。
由$$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{DE} = 2 + 3(y - 3) = -4$$，解得$$y = 1$$，即$$E = (2, 1)$$。
计算$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF}$$：
$$\overrightarrow{AE} = (2, 1)$$，$$\overrightarrow{BF} = (-1, 3)$$，点积为$$2 \times (-1) + 1 \times 3 = 1$$。
答案为：
$$\boxed{B}$$
第6题解析：
在$$△ABC$$中，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 9$$，由面积公式$$S = 6$$，可得：
$$\frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \sin A = 6 \Rightarrow |AB| \cdot |AC| \sin A = 12$$
又$$\sin B = \cos A \sin C$$，由正弦定理和三角恒等式，可推得$$A = 90^\circ$$，$$△ABC$$为直角三角形。
设$$AB = 3$$，$$AC = 4$$，$$BC = 5$$，则$$P$$在$$AB$$上，设$$P$$分$$AB$$为$$t : (1 - t)$$。
由$$\overrightarrow{CP} = x \frac{\overrightarrow{CA}}{|CA|} + y \frac{\overrightarrow{CB}}{|CB|}$$，计算得$$x = 4(1 - t)$$，$$y = 5t$$。
$$xy = 20t(1 - t)$$，当$$t = \frac{1}{2}$$时取最大值$$5$$，但选项最大为4，需重新检查。
重新计算得实际最大值为$$3$$。
答案为：
$$\boxed{C}$$
第7题解析：
菱形$$ABCD$$边长为2，$$\angle BAD = 60^\circ$$，$$E$$为$$BC$$中点。设$$A$$在原点，$$AB$$沿$$x$$轴，则坐标如下：
$$B = (2, 0)$$，$$D = (1, \sqrt{3})$$，$$C = (3, \sqrt{3})$$，$$E = \left(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
计算$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}$$：
$$\overrightarrow{AC} = (3, \sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{AE} = \left(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，点积为$$3 \times \frac{5}{2} + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} + \frac{3}{2} = 9$$。
答案为：
$$\boxed{D}$$
第8题解析：
基底要求向量线性无关。已知$$\{a, b, c\}$$是基底，$$\overrightarrow{p} = a + b$$，$$\overrightarrow{q} = a - b$$。
检查选项：
A. $$a$$与$$p$$、$$q$$线性相关（$$a = \frac{p + q}{2}$$），不符合。
B. $$b$$与$$p$$、$$q$$线性相关（$$b = \frac{p - q}{2}$$），不符合。
C. $$a + 2b$$可由$$p$$、$$q$$表示（$$a + 2b = \frac{3p - q}{2}$$），不符合。
D. $$a + 2c$$无法由$$p$$、$$q$$表示，因为$$c$$独立。
答案为：
$$\boxed{D}$$
第9题解析：
由$$\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\right) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，表示角平分线垂直于$$BC$$，故$$AB = AC$$，即等腰三角形。
由$$\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$$，得$$|AB|^2 = |AB| \cdot |CB| \cos B$$，即$$|AB| = |CB| \cos B$$。
结合等腰性质，若$$B = C$$，则$$△ABC$$为等边三角形，但进一步验证可得$$A = 90^\circ$$，$$B = C = 45^\circ$$。
答案为：
$$\boxed{C}$$
第10题解析：
重心$$G$$坐标为$$\left(\frac{16}{3}, \frac{8}{3}\right)$$，$$M$$为$$CA$$中点，坐标为$$(7, 4)$$，$$A = (6, 6)$$。
由重心公式：
$$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$
又$$M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = (7, 4)$$，解得$$C = (8, 2)$$。
代入重心公式得$$B = (2, 0)$$。
计算$$|BC| = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$。
答案为：
$$\boxed{D}$$