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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$为角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边，且$${（{a}{−}{b}{）}{（}{{s}{i}{n}}{A}{+}{{s}{i}{n}}{B}{）}{=}{（}{c}{−}{b}{）}{{s}{i}{n}}{C}}$$，若$${{a}{=}{\sqrt {3}}}$$．则$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的半径为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$${{A}{B}{=}{3}{，}{B}{C}{=}{\sqrt {{1}{3}}}{，}{A}{C}{=}{4}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是（）
A
A.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
3、['余弦定理及其应用'， '棱锥的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角']正确率40.0%三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{C}{D}{=}{2}{，}{M}{、}{N}}$$分别为$${{B}{C}{、}{A}{D}}$$的中点，$${{M}{N}{=}{\sqrt {3}}}$$，则异面直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{D}}$$所成的角为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\frac{\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}} {3}=\frac{\overrightarrow{B C} \cdot\overrightarrow{C A}} {2}=\frac{\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{A B}} {1}$$，则$${{s}{i}{n}{A}{：}{{s}{i}{n}}{B}{：}{{s}{i}{n}}{C}{=}{（}}$$）
C
A.$${{5}{：}{3}{：}{4}}$$
B.$${{5}{：}{4}{：}{3}}$$
C.$${\sqrt {5}{：}{\sqrt {3}}{：}{2}}$$
D.$${\sqrt {5}{：}{2}{：}{\sqrt {3}}}$$
5、['余弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{B}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{{b}^{2}}{=}{a}{c}}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$一定是
B
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
6、['余弦定理及其应用']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$分别是角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边，$${{(}{a}{+}{b}{−}{c}{)}{(}{a}{+}{c}{+}{b}{)}{=}{2}{a}{b}}$$，则角$${{C}}$$的正弦值为
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{1}}$$
7、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且$$a=1 3， \ {\frac{b} {c+a}}={\frac{\operatorname{s i n} C} {\operatorname{s i n} A-\operatorname{s i n} B}}-1$$．则$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的半径为（）
B
A.$$\frac{1 3} {3}$$
B.$$\frac{1 3 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1 3} {2}$$
D.$$\frac{1 3 \sqrt2} {2}$$
9、['余弦定理及其应用']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{=}{{6}{0}}{°}}$$，$${{A}{B}{=}{2}}$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$\frac{\sqrt3} {2}$$，则$${{B}{C}}$$的长为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}}$$
10、['余弦定理及其应用']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$为角$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$的对边，且$${{b}^{2}{=}{a}{c}}$$，则$${{B}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{\pi} {3} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {3}， \pi)$$
C.$$( 0， \frac{\pi} {6} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {6}， \pi)$$
1. 解析：
由正弦定理，$$(a-b)(\sin A + \sin B) = (c-b)\sin C$$ 可转化为 $$(a-b)(a + b) = (c-b)c$$，即 $$a^2 - b^2 = c^2 - b c$$。结合余弦定理 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$，化简得 $$c = 2b \cos A$$。代入 $$a = \sqrt{3}$$ 及正弦定理，外接圆半径 $$R = \frac{a}{2 \sin A} = 1$$。故选 A。
2. 解析：
由海伦公式，半周长 $$p = \frac{3 + \sqrt{13} + 4}{2} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$$，面积 $$S = \sqrt{p(p-3)(p-\sqrt{13})(p-4)}$$。计算得 $$S = 3$$。故选 C。
3. 解析：
取 $$BD$$ 中点 $$P$$，连接 $$MP$$ 和 $$NP$$，则 $$MP \parallel CD$$，$$NP \parallel AB$$。由 $$MN = \sqrt{3}$$ 及 $$MP = NP = 1$$，利用余弦定理得夹角为 $$60^\circ$$。故选 C。
4. 解析：
设 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 3k$$，$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 2k$$，$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = k$$。由向量点积公式及余弦定理，解得边长比例 $$a : b : c = \sqrt{5} : 2 : \sqrt{3}$$，故 $$\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{5} : 2 : \sqrt{3}$$。故选 D。
5. 解析：
由余弦定理 $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$ 及 $$b^2 = a c$$，代入 $$B = 60^\circ$$ 得 $$a^2 + c^2 - a c = a c$$，即 $$(a - c)^2 = 0$$，故 $$a = c$$，为等边三角形。故选 B。
6. 解析：
化简 $$(a+b-c)(a+c+b) = 2ab$$ 得 $$a^2 + b^2 - c^2 = 0$$，即 $$a^2 + b^2 = c^2$$。由勾股定理，$$C = 90^\circ$$，$$\sin C = 1$$。故选 D。
7. 解析：
由正弦定理及给定条件化简得 $$b^2 + c^2 - a^2 = b c$$，结合余弦定理得 $$\cos A = \frac{1}{2}$$，$$A = 60^\circ$$。外接圆半径 $$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{13 \sqrt{3}}{3}$$。故选 B。
9. 解析：
面积公式 $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$$，代入数据得 $$AC = 1$$。由余弦定理 $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 3$$，故 $$BC = \sqrt{3}$$。故选 B。
10. 解析：
由 $$b^2 = a c$$ 及余弦定理 $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \geq \frac{2ac - ac}{2ac} = \frac{1}{2}$$，故 $$B \in (0, \frac{\pi}{3}]$$。故选 A。