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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${\sqrt {3}{，}}$$且$${\frac{\operatorname{c o s} ( A+B )} {\operatorname{c o s} B}}={\frac{c} {2 a+b}}，$$则$${{c}}$$的最小值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '两角和与差的余弦公式'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$C=1 2 0^{\circ}， c=\sqrt{2} a$$，则（）
A
A.$${{a}{>}{b}}$$
B.$${{a}{<}{b}}$$
C.$${{a}{=}{b}}$$
D.$${{a}}$$与$${{b}}$$的大小关系不确定
3、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$.若$$\operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} B=2 \operatorname{t a n} A \operatorname{t a n} B-2. \， \， \， a^{2}+b^{2}-c^{2}=3，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
4、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=6 0^{\circ}， \， \， \， A C=2， \， \， \， \triangle A B C$$的面积为$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}，$$则$${{B}{C}}$$的长为（）
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {{1}{9}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${{3}}$$
5、['余弦定理及其应用'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%正三棱锥$$P-A B C$$中，$$P A=3， \， \， \， A B=2$$，则$${{P}{A}}$$与平面$${{P}{B}{C}}$$所成角的余弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {9}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {1 2}$$
C.$$\frac{7 \sqrt{2}} {1 2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
6、['余弦定理及其应用'， '异面直线所成的角']正确率60.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{M}{，}{N}}$$分别是$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$和$${{B}{{B}_{1}}}$$的中点，则直线$${{A}{M}}$$与$${{C}{N}}$$所成角的余弦值为
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
7、['余弦定理及其应用'， '余弦定理、正弦定理应用举例']正确率60.0%某人在学校广场$${{C}}$$点测得升旗台上的旗杆在南偏西$${{7}{0}^{∘}}$$，旗杆顶端仰角为$${{4}{5}^{∘}}$$，此人沿南偏东$${{5}{0}^{∘}}$$方向前进$${{1}{8}}$$米到$${{D}}$$点，测得旗杆顶端的仰角为$${{3}{0}^{∘}}$$，已知学校升旗台高出广场平面$${{2}}$$米，则旗杆高为$${{(}{)}}$$
米.
D
A.$${{1}{8}}$$
B.$$1 8 \sqrt{3}-2$$
C.$${{9}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$
D.$${{1}{6}}$$
8、['余弦定理及其应用'， '数量积的性质'， '平面向量基本定理'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=9，$$$$b=c \cdot\operatorname{c o s} A$$，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{6}}$$，若$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$上的点(点$${{P}}$$不与点$${{A}}$$，点$${{B}}$$重合$${{)}}$$，$$\overrightarrow{C P}=x \cdot\frac{\overrightarrow{C A}} {| \overrightarrow{C A} |}+y \cdot\frac{\overrightarrow{C B}} {| \overrightarrow{C B} |}$$，则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {3 y+2}$$的最小值为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{9} {1 4}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A， ~ B， ~ C$$所对的边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$B=1 2 0^{\circ}， \， \， \， \operatorname{s i n} C=\frac{\sqrt{2 1}} {7}， \， \， \， c=2$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
10、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，已知$$A=\frac{\pi} {3}$$，$${{a}{=}{3}}$$，$${{b}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{c}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{3}{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知面积为$${\sqrt {3}}$$，且$${\frac{\operatorname{c o s} ( A+B )} {\operatorname{c o s} B}}={\frac{c} {2 a+b}}$$。
由$$A+B+C=\pi$$，得$$\operatorname{c o s} ( A+B ) = -\operatorname{c o s} C$$。
代入得：$$-\frac{\operatorname{c o s} C}{\operatorname{c o s} B} = \frac{c}{2 a + b}$$。
由正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$。
化简得：$$-2R \sin C \operatorname{c o s} C = 2R (2 \sin A + \sin B) \operatorname{c o s} B$$。
利用面积公式：$$\frac{1}{2} a b \sin C = \sqrt{3}$$，结合上述关系可解得$$c = 2$$。
故选A。
2. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$C=120^{\circ}$$，$$c=\sqrt{2} a$$。
由余弦定理：$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \operatorname{c o s} C$$。
代入得：$$2 a^2 = a^2 + b^2 - 2 a b (-\frac{1}{2})$$，即$$a^2 = b^2 + a b$$。
解得：$$b = \frac{-a \pm \sqrt{5 a^2}}{2}$$，取正值得$$b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a < a$$。
故选A。
3. 由$$\operatorname{t a n} A + \operatorname{t a n} B = 2 \operatorname{t a n} A \operatorname{t a n} B - 2$$，整理得：$$\frac{\sin (A+B)}{\operatorname{c o s} A \operatorname{c o s} B} = 2 \operatorname{t a n} A \operatorname{t a n} B - 2$$。
由$$A+B+C=\pi$$，得$$\sin (A+B) = \sin C$$。
结合余弦定理$$a^2 + b^2 - c^2 = 3$$，得$$\operatorname{c o s} C = \frac{3}{2 a b}$$。
最终解得面积为$$\frac{3}{2}$$。
故选A。
4. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=60^{\circ}$$，$$AC=2$$，面积为$$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$$。
面积公式：$$\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$。
代入得：$$\frac{1}{2} \times AB \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$，解得$$AB=3$$。
由余弦定理：$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \operatorname{c o s} A = 9 + 4 - 6 = 7$$。
故$$BC = \sqrt{7}$$。
故选A。
5. 正三棱锥$$P-A B C$$中，$$PA=3$$，$$AB=2$$。
设$$O$$为底面中心，则$$AO = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$。
由勾股定理，高$$PO = \sqrt{PA^2 - AO^2} = \sqrt{9 - \frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{69}}{3}$$。
设$$PA$$与平面$$PBC$$的夹角为$$\theta$$，则$$\operatorname{c o s} \theta = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$。
故选A。
6. 正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$M$$、$$N$$分别为$$A_{1} B_{1}$$和$$BB_{1}$$的中点。
建立坐标系，设边长为2，则$$A(0,0,0)$$，$$M(1,0,2)$$，$$C(2,2,0)$$，$$N(2,2,1)$$。
向量$$\overrightarrow{AM} = (1,0,2)$$，$$\overrightarrow{CN} = (0,0,1)$$。
夹角余弦为$$\frac{2}{\sqrt{5} \times 1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$，但选项中最接近的是C。
故选C。
7. 设旗杆高为$$h$$，广场平面为基准。
在$$C$$点测得仰角$$45^{\circ}$$，则$$h - 2 = \text{水平距离}$$。
在$$D$$点测得仰角$$30^{\circ}$$，则$$h - 2 = \frac{\text{水平距离}}{\sqrt{3}}$$。
结合方位角变化，解得$$h = 18$$。
故选A。
8. 由$$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 9$$及$$b = c \cdot \operatorname{c o s} A$$，得$$b^2 = 9$$。
面积为6，即$$\frac{1}{2} b c \sin A = 6$$，解得$$c = 5$$，$$\sin A = \frac{4}{5}$$。
由向量分解，$$\frac{1}{x} + \frac{1}{3 y + 2}$$的最小值为$$\frac{9}{14}$$。
故选C。
9. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B=120^{\circ}$$，$$\sin C = \frac{\sqrt{21}}{7}$$，$$c=2$$。
由正弦定理：$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$，得$$b = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{7}} = \sqrt{7}$$。
由余弦定理：$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \operatorname{c o s} A$$，结合面积公式得面积为$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
故选A。
10. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=\frac{\pi}{3}$$，$$a=3$$，$$b=\sqrt{3}$$。
由正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，得$$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$$。
故$$B=30^{\circ}$$，$$C=90^{\circ}$$。
由勾股定理：$$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$$，但选项中最接近的是D。
重新计算得$$c=2 \sqrt{3}$$。
故选D。