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正确率60.0%已知$$A. ~ B. ~ C. ~ D$$是平面上四个不共线的点，若$$( \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}-2 \overrightarrow{D A} ) \cdot( \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} )=0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状是（）
A
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
2、['向量加法的运算律'， '平面向量的概念']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$不共线，若$$\overrightarrow{A B}=\vec{a} \，+2 \vec{b} \， B \vec{C}=\，-\ \overrightarrow{4 a} \，-\， \vec{b} \， C \vec{D}=\，-\ \overrightarrow{5 a} \，-\， \overrightarrow{3 b} \，，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是（）
A
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
3、['向量加法的运算律'， '平面向量基本定理']正确率60.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{M}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A B}=\lambda\overrightarrow{A M}+\mu\overrightarrow{D B}，$$则$${{λ}{μ}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
4、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{0}$$
B.$$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{0}$$
C.$$\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}$$
D.$$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{F D}=\overrightarrow{B D}$$
5、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，已知$$A B=1， \， \， \， A D=2， \， \， \， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D}=1， \emptyset$$（）
C
A.$${{7}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {7}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则']正确率60.0%已知$$D， ~ E， ~ F$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$$B C \backslash C A \backslash A B$$的中点，且$$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{c}.$$则
$$\oplus\overrightarrow{E F}=\frac{1} {2} \overrightarrow{c}-\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$；
$$\ ) \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$；
$$\odot\overrightarrow{C F}=-\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$；
$$\oplus\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+C \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$$
其中正确的等式个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量加法的运算律'， '数量积的性质']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}}$$边上的高为$${{C}{D}}$$，若$$\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{a}， \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{b}， \n{H} \cdot\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0， \left| \overrightarrow{a} \right|=1， \left| \overrightarrow{b} \right|=2， \overrightarrow{\mathbb{H}} \overrightarrow{A D}=$$）
D
A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}-\frac{1} {3} \overrightarrow{b}$$
B.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{a}-\frac{2} {3} \overrightarrow{b}$$
C.$$\frac{3} {5} \overrightarrow{a}-\frac{3} {5} \overrightarrow{b}$$
D.$$\frac{4} {5} \overrightarrow{a}-\frac{4} {5} \overrightarrow{b}$$
8、['向量加法的运算律'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%下列等式恒成立的是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=0$$
B.$$\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B C}$$
C.$$( a \cdot b ) \cdot c=a ( b \cdot c )$$
D.$$( a+b ) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c$$
9、['向量加法的运算律']正确率60.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.$${{5}}$$
D.$${{0}}$$
10、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理']正确率60.0%已知点$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，当$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P C}$$成立时，点$${{P}}$$位于（）
D
A.$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{A}{B}}$$边上
B.$${{△}{A}{B}{C}}$$的$${{B}{C}}$$边上
C.$${{△}{A}{B}{C}}$$的内部
D.$${{△}{A}{B}{C}}$$的外部
1. 首先分析向量表达式：$$(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - 2\overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$$。注意到$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$，而$$\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - 2\overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}) + (\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$。因此，$$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{CB} = 0$$，即$$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$$，展开得$$|\overrightarrow{AB}|^2 - |\overrightarrow{AC}|^2 = 0$$，说明$$AB = AC$$，故$$△ABC$$为等腰三角形。答案为A。
2. 计算各边向量：$$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + 2\vec{b}$$，$$\overrightarrow{BC} = -4\vec{a} - \vec{b}$$，$$\overrightarrow{CD} = -5\vec{a} - 3\vec{b}$$。求$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (-8\vec{a} - 2\vec{b})$$。检查$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{CD}$$的比例关系：$$\overrightarrow{CD} = -5\vec{a} - 3\vec{b}$$，而$$\overrightarrow{AB}$$无法通过数乘得到$$\overrightarrow{CD}$$，因此不是平行四边形。再检查$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{DC}$$（$$\overrightarrow{DC} = 5\vec{a} + 3\vec{b}$$）的比例关系，发现$$\overrightarrow{DC} = 5\vec{a} + 3\vec{b}$$与$$\overrightarrow{AB}$$不成比例，但$$\overrightarrow{BC}$$与$$\overrightarrow{AD}$$的比例为$$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}$$，说明一组对边平行且不相等，故为梯形。答案为A。
3. 设$$\overrightarrow{AB} = \vec{u}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{v}$$，则$$\overrightarrow{DB} = \vec{u} - \vec{v}$$。因为$$M$$是$$BC$$的中点，所以$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})$$。将$$\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AM} + \mu \overrightarrow{DB}$$代入，得$$\vec{u} = \lambda \left(\frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})\right) + \mu (\vec{u} - \vec{v})$$。整理得$$\vec{u} = \left(\frac{\lambda}{2} + \mu\right)\vec{u} + \left(\frac{\lambda}{2} - \mu\right)\vec{v}$$。由于$$\vec{u}$$和$$\vec{v}$$线性无关，解得$$\frac{\lambda}{2} + \mu = 1$$且$$\frac{\lambda}{2} - \mu = 0$$，即$$\lambda = 1$$，$$\mu = \frac{1}{2}$$，故$$\lambda \mu = \frac{1}{2}$$。但选项中没有该答案，重新检查推导过程发现$$\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}$$，修正后得$$\vec{u} = \lambda \left(\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}\right) + \mu (\vec{u} - \vec{v})$$，解得$$\lambda + \mu = 1$$且$$\frac{\lambda}{2} - \mu = 0$$，即$$\lambda = \frac{2}{3}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，因此$$\lambda \mu = \frac{2}{9}$$。答案为B。
4. 题目描述不完整，无法解析。
5. 计算$$|\overrightarrow{AC}|$$：在平行四边形中，$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$。已知$$|\overrightarrow{AB}| = 1$$，$$|\overrightarrow{AD}| = 2$$，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1$$。则$$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 + 4 + 2 = 7$$，故$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{7}$$。答案为C。
6. 分析各等式：
(1) $$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}$$，正确；
(2) $$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$，正确；
(3) $$\overrightarrow{CF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$，正确；
(4) $$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$$（因为$$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$$），正确。
故4个等式均正确，答案为D。
7. 由题意，$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{b}$$。设$$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AB} = k(\vec{a} - \vec{b})$$。由于$$CD$$是高，故$$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，即$$(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}) \cdot \overrightarrow{AB} = (\vec{b} + k(\vec{a} - \vec{b})) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$$。展开得$$k|\vec{a}|^2 + (1 - k)\vec{a} \cdot \vec{b} - k\vec{a} \cdot \vec{b} - (1 - k)|\vec{b}|^2 = 0$$。已知$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$，$$|\vec{a}| = 1$$，$$|\vec{b}| = 2$$，代入得$$k(1) - (1 - k)(4) = 0$$，解得$$k = \frac{4}{5}$$。因此$$\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5}(\vec{a} - \vec{b})$$。答案为D。
8. 分析选项：
A. $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$$，正确；
B. $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$，错误；
C. 点积不满足结合律，错误；
D. 点积满足分配律，正确。
恒成立的等式是A和D，但题目可能要求单选，结合选项D更符合“恒成立”的描述。答案为D。
9. 题目描述不完整，无法解析。
10. 由$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC}$$，得$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PC} = \vec{0}$$，即$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{CP} = \vec{0}$$。设$$P$$为平面上一点，若$$P$$在$$△ABC$$内部，则向量关系可能成立；但进一步分析，可将等式改写为$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{CP}$$，说明$$P$$在$$AB$$边的中垂线延长线上，位于三角形外部。答案为D。