向量加法的运算律-6.2 平面向量的运算知识点月考进阶单选题自测题答案-辽宁省等高二数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 化简向量表达式：

$$ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} $$

步骤解析：

1) 将 $$ -\overrightarrow{AC} $$ 转化为 $$ +\overrightarrow{CA} $$，得到：

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} $$

2) 合并 $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} $$，表达式变为：

$$ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} $$

3) 合并 $$ \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} $$，最终得到：

$$ \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0} $$

正确答案为 B。

2. 求向量夹角：

已知 $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $$，且 $$ |\overrightarrow{AB}| = 2 $$，$$ |\overrightarrow{AD}| = 1 $$。

设 $$ \overrightarrow{AB} $$ 与 $$ \overrightarrow{AD} $$ 的夹角为 $$ \theta $$。

步骤解析：

1) 计算 $$ \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BF} $$：

$$ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) = -\frac{3}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} $$

$$ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $$

2) 点积计算：

$$ \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BF} = \left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right) = -\frac{3}{4}|\overrightarrow{AD}|^2 + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} $$

代入已知条件：

$$ -\frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times 2 \times 1 \times \cos\theta = -\frac{5}{4} $$

解得：

$$ \cos\theta = -\frac{1}{2} $$

$$ \theta = \frac{2\pi}{3} $$

正确答案为 C。

3. 中点向量表达式：

点 $$ D $$ 为 $$ \triangle ABC $$ 边 $$ BC $$ 的中点，则：

$$ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) $$

正确答案为 B。

4. 向量点积计算：

在边长为 2 的正三角形 $$ ABC $$ 中，已知 $$ \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD} $$ 和 $$ \overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE} $$。

步骤解析：

1) 确定点坐标：设 $$ A(0, 0) $$，$$ B(2, 0) $$，$$ C(1, \sqrt{3}) $$。

2) 计算 $$ D $$ 和 $$ E $$ 的坐标：

$$ D $$ 为 $$ BC $$ 上靠近 $$ B $$ 的三等分点：

$$ D\left(\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

$$ E $$ 为 $$ CA $$ 上靠近 $$ C $$ 的四等分点：

$$ E\left(\frac{3}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}\right) $$

3) 计算向量点积：

$$ \overrightarrow{DA} = \left(-\frac{5}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$

$$ \overrightarrow{BE} = \left(-\frac{5}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}\right) $$

$$ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BE} = \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{5}{4}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{25}{12} - \frac{9}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $$

但选项中没有 $$ \frac{4}{3} $$，重新检查计算：

$$ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BE} = \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{5}{4}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{25}{12} - \frac{3}{4} = \frac{25}{12} - \frac{9}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $$

可能题目有其他条件，但最接近的选项是 A（2）。

5. 向量表达式：

在 $$ \triangle ABC $$ 中，$$ D $$ 是 $$ AB $$ 的中点，$$ E $$ 是 $$ BC $$ 的中点，且 $$ DE = 2EF $$。

步骤解析：

1) 设 $$ \overrightarrow{AB} = \mathbf{a} $$，$$ \overrightarrow{AC} = \mathbf{b} $$。

2) 计算 $$ \overrightarrow{AF} $$：

$$ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{a} $$

$$ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) $$

$$ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{b} $$

$$ \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DE} = \frac{1}{4}\mathbf{b} $$

$$ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{b} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b} $$

正确答案为 D。

6. 向量化简：

$$ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{OM} $$

步骤解析：

1) 合并 $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} $$。

2) 合并 $$ \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CO} $$。

3) 表达式变为 $$ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OM} $$。

4) 合并 $$ \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{CM} $$。

5) 最终 $$ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AC} $$。

正确答案为 D。

7. 向量等式验证：

在 $$ \triangle ABC $$ 中，$$ D, E, F $$ 分别是边 $$ AB, BC, CA $$ 的中点。

验证选项：

A. $$ \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{EB} $$ 不成立。

B. $$ \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{0} $$ 成立。

C. $$ \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{FA} $$ 成立。

D. $$ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FD} $$ 不成立。

正确答案为 B 和 C，但题目可能单选，选 B。

8. 三角形重心条件：

已知 $$ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$。

步骤解析：

1) 重心性质：$$ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} $$。

2) 对比可得 $$ a = b = c $$，即等边三角形。

3) $$ \angle A = 60^\circ $$。

正确答案为 B。

9. 单位圆向量夹角：

已知 $$ \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} $$。

步骤解析：

1) 因为 $$ E, F, G $$ 在单位圆上，$$ |\overrightarrow{CE}| = |\overrightarrow{CF}| = |\overrightarrow{CG}| = 1 $$。

2) 由向量加法，$$ \overrightarrow{CG} $$ 是 $$ \overrightarrow{CE} $$ 和 $$ \overrightarrow{CF} $$ 的和，夹角为 $$ 120^\circ $$。

3) $$ \overrightarrow{FG} $$ 与 $$ \overrightarrow{GE} $$ 的夹角也是 $$ 120^\circ $$。

正确答案为 C。

10. 向量线性组合化简：

$$ 3(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + 2(4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) $$

步骤解析：

1) 展开：$$ 6\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 8\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b} $$。

2) 合并同类项：$$ 14\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{b} $$。

正确答案为 D。