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正确率60.0%若$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$是平面内任意三个向量，$${{λ}{∈}{R}}$$，下列关系式中，不一定成立的是（）
D
A.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{=}{{b}^{→}}{+}{{a}^{→}}}$$
B.$${{λ}{（}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{）}{=}{λ}{{a}^{→}}{+}{λ}{{b}^{→}}}$$
C.$${（{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{）}{+}{{c}^{→}}{=}{{a}^{→}}{+}{（}{{b}^{→}}{+}{{c}^{→}}{）}}$$
D.$${{b}^{→}{=}{λ}{{a}^{→}}}$$
2、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$，则$${{P}}$$点轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
3、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的线性运算']正确率80.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为不共线向量，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{B C}=-4 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{C D}=-5 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$$，则下列关系式中正确的是（）
B
A.$$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$$
B.$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{B C}$$
C.$$\overrightarrow{A D}=-\overrightarrow{B C}$$
D.$$\overrightarrow{A D}=-2 \overrightarrow{B C}$$
4、['向量加法的运算律'， '向量减法的定义及运算法则'， '三角形的面积（公式）'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%设$${{D}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$上一点，$${{P}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$内一点，且满足$$\overrightarrow{A D}=\frac{\lambda+1} {\lambda^{2}+2} \overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A D}+\frac{\lambda} {\lambda+1} \overrightarrow{B C}， \， \， \lambda> 0.$$则$$\frac{S_{\Delta A P D}} {S_{\Delta A B C}}$$的最大值为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$$${}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
5、['向量加法的运算律'， '共线向量基本定理'， '平面向量的概念']正确率60.0%$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$为平面的一组基底向量，已知向量$${{A}{B}^{→}{=}{{{e}_{1}}^{→}}{−}{k}{{{e}_{2}}^{→}}{，}{{B}{C}^{→}}{=}{2}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{{e}_{2}}^{→}}{，}{{C}{D}^{→}}{=}{3}{{{e}_{1}}^{→}}{−}{3}{{{e}_{2}}^{→}}{，}}$$若$${{A}{，}{B}{，}{D}}$$三点共线，则实数$${{k}}$$的值是（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则']正确率40.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的边$${{B}{C}}$$上有一点$${{D}}$$满足$$\vec{B D}=2 D C，$$则$$\overrightarrow{A D}$$可表示为（）
C
A.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {4} \overrightarrow{A B}+\frac{3} {4} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{A D}=\frac{3} {4} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{A D}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
8、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '空间向量基本定理的应用'， '三角形的“四心”'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%设$${{M}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，记$$\overrightarrow{B C}=a， \， \， \， \overrightarrow{C A}=b， \， \， \， \overrightarrow{A B}=c，$$且$${{a}{+}{b}{+}{c}{=}{0}}$$，则$$\overrightarrow{A M}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$\frac{b-c} {2}$$
B.$$\frac{c-b} {2}$$
C.$$\frac{b-c} {3}$$
D.$$\frac{c-b} {3}$$
9、['向量加法的运算律'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”']正确率60.0%若点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心，且$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\lambda\overrightarrow{P C}=0， \， \， \， \angle C=1 2 0^{\circ}，$$则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量的夹角']正确率60.0%已知单位圆$${{C}}$$上有不同的三点$${{E}{，}{F}{，}{G}}$$，若$$\overrightarrow{C G}=\overrightarrow{C E}+\overrightarrow{C F}，$$则$$\overrightarrow{F G}$$与$$\overrightarrow{G E}$$的夹角的大小为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
1. 选项 D 不一定成立。因为 $${{b}^{→}}$$ 不一定能表示为 $${{λ}{{a}^{→}}}$$，除非 $${{a}^{→}}$$ 和 $${{b}^{→}}$$ 共线。其他选项 A、B、C 分别是向量加法的交换律、数乘的分配律和加法的结合律，均成立。
2. 将等式 $$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$ 变形为 $$2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P} = \overrightarrow{C B}^{2} - \overrightarrow{C A}^{2}$$。右边可以表示为 $$(\overrightarrow{C B} - \overrightarrow{C A}) \cdot (\overrightarrow{C B} + \overrightarrow{C A}) = \overrightarrow{A B} \cdot (\overrightarrow{C B} + \overrightarrow{C A})$$。因此，$$\overrightarrow{A B} \cdot (2 \overrightarrow{C P} - \overrightarrow{C B} - \overrightarrow{C A}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{A B} \cdot (\overrightarrow{C P} - \frac{\overrightarrow{C B} + \overrightarrow{C A}}{2}) = 0$$。这说明 $$P$$ 点在 $$AB$$ 的中垂线上，轨迹通过外心，选 B。
3. 计算 $$\overrightarrow{A D} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D} = (\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) + (-4 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) + (-5 \overrightarrow{a} - 3 \overrightarrow{b}) = -8 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}$$。而 $$\overrightarrow{B C} = -4 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$，所以 $$\overrightarrow{A D} = 2 \overrightarrow{B C}$$，选 B。
4. 设 $$\overrightarrow{A B} = \overrightarrow{u}$$，$$\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{v}$$，则 $$\overrightarrow{A D} = \frac{\lambda + 1}{\lambda^{2} + 2} \overrightarrow{u}$$，$$\overrightarrow{A P} = \overrightarrow{A D} + \frac{\lambda}{\lambda + 1} (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u})$$。面积比为 $$\frac{S_{\Delta A P D}}{S_{\Delta A B C}} = \frac{|\overrightarrow{A D} \times \overrightarrow{A P}|}{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}$$。化简后求极值，可得最大值为 $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$，选 B。
5. 由 $$A, B, D$$ 共线，$$\overrightarrow{A D} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D} = (1 + 2 + 3) \overrightarrow{e_1} + (-k + 1 - 3) \overrightarrow{e_2} = 6 \overrightarrow{e_1} + (-k - 2) \overrightarrow{e_2}$$ 应与 $$\overrightarrow{A B} = \overrightarrow{e_1} - k \overrightarrow{e_2}$$ 共线。因此 $$\frac{6}{1} = \frac{-k - 2}{-k}$$，解得 $$k = 4$$，选 D。
7. 由 $$\overrightarrow{B D} = 2 \overrightarrow{D C}$$，得 $$\overrightarrow{D} = \frac{2 \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B}}{3}$$。因此 $$\overrightarrow{A D} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \frac{2 \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{A B}}{3}$$，即 $$\overrightarrow{A D} = \frac{1}{3} \overrightarrow{A B} + \frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$$，选 C。
8. 重心 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{A M} = \frac{\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A C}}{3}$$。由 $$a + b + c = 0$$，得 $$\overrightarrow{A B} = c$$，$$\overrightarrow{A C} = -b$$，因此 $$\overrightarrow{A M} = \frac{c - b}{3}$$，选 D。
9. 外心 $$P$$ 满足 $$|\overrightarrow{P A}| = |\overrightarrow{P B}| = |\overrightarrow{P C}|$$。设 $$|\overrightarrow{P A}| = r$$，由 $$\overrightarrow{P A} + \overrightarrow{P B} + \lambda \overrightarrow{P C} = 0$$，平方后得 $$2r^2 + 2r^2 \cos(120^\circ) + \lambda^2 r^2 = r^2$$，解得 $$\lambda = 1$$，选 C。
10. 设单位圆 $$C$$ 的圆心为原点，$$\overrightarrow{C E} = \overrightarrow{u}$$，$$\overrightarrow{C F} = \overrightarrow{v}$$，则 $$\overrightarrow{C G} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$$。因为 $$|\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = 1$$，所以 $$\overrightarrow{u}$$ 与 $$\overrightarrow{v}$$ 的夹角为 $$120^\circ$$。$$\overrightarrow{F G} = \overrightarrow{u}$$，$$\overrightarrow{G E} = -\overrightarrow{v}$$，它们的夹角为 $$60^\circ$$，选 B。