.jpg)
正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \frac{1} {3}， \; \; \operatorname{t a n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} \alpha， \; 1 )， \; \; \alpha\in( \frac{\pi} {2}， \; \pi)，$$且$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} ( \alpha-\frac{\pi} {2} )=\ thdelims [ ~$$）
C
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
2、['共线向量基本定理']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$A B=3， \ A C=5， \ \boldsymbol{e_{1}}=\frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}，$$$$e_{2}=\frac{\overrightarrow{A D}} {| \overrightarrow{A D} |}，$$若$$\overrightarrow{A C}=x {\bf e_{1}}+y {\bf e_{2}}，$$则$${{x}{+}{y}}$$的值为 （）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{4}}$$
3、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A C}=5 \overrightarrow{A D}$$，$${{E}}$$是直线$${{B}{D}}$$上一点，且$$\overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{B D}$$，若$$\overrightarrow{A E}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$$，则$${{m}{+}{n}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$${{−}}$$$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$${{−}}$$$$\frac{3} {5}$$
4、['共线向量基本定理'， '平面向量的概念'， '利用基本不等式求最值']正确率80.0%设向量$$\overrightarrow{O A}=( 1，-2 )$$，$$\overrightarrow{O B}=( a，-1 )$$，$$\overrightarrow{O C}=(-b， 0 )$$，其中$${{O}}$$为坐标原点，$${{a}{>}{0}}$$，$${{b}{>}{0}}$$，若$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$三点共线，则$$\frac{2} {a}+\frac{1} {b}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
5、['向量的模'， '共线向量基本定理'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个非零向量，且$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{|}{+}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则下列说法正确的是（）
D
A.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{=}{{0}^{→}}}$$
B.$${{a}^{→}{=}{{b}^{→}}}$$
C.$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$共线反向
D.存在正实数$${{λ}{，}}$$使$${{a}^{→}{=}{λ}{{b}^{→}}}$$
6、['共线向量基本定理']正确率60.0%设$${{e}^{→}_{1}{，}{{e}^{→}_{2}}}$$是两个不共线的向量，且$${{a}^{→}{=}{{e}^{→}_{1}}{+}{m}{{e}^{→}_{2}}}$$与$${{b}^{→}{=}{−}{3}{{e}^{→}_{1}}{−}{{e}^{→}_{2}}}$$共线，则实数$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{0}{)}{，}{{c}^{→}}{=}{(}{3}{，}{4}{)}{，}}$$若$${{(}{{a}^{→}}{+}{λ}{{b}^{→}}{)}{/}{/}{{c}^{→}}}$$，则实数$${{λ}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}{1}}$$
8、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '共线向量基本定理'， '三角形的面积（公式）'， '向量的线性运算']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$B C=7， A C=6， \operatorname{c o s} C=\frac{2 \sqrt{6}} {7}.$$若动点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=( 1-\lambda) \overrightarrow{A B}+\frac{2 \lambda} {3} \overrightarrow{A C}， ( \lambda\in{\bf R} ).$$则点$${{P}}$$的轨迹与直线$${{B}{C}{，}{{A}{C}}}$$所围成的封闭区域的面积为（）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
9、['共线向量基本定理'， '投影向量（投影）'， '向量的线性运算']正确率40.0%非零向量$${{O}{A}^{→}{=}{{a}{⃗}}{，}{{O}{B}^{→}}{=}{{b}^{⃗}}}$$，若点$${{B}}$$关于$${{O}{A}^{→}}$$所在直线的对称点为$${{B}_{1}}$$，则向量$${{O}{{B}_{1}}^{→}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}} {\left| \vec{a} \right|^{2}}-\vec{b}$$
B.$${{2}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}}$$
C.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}-\vec{b}} {\left| \vec{a} \right|^{2}}$$
D.$$\frac{2 ( \vec{a} \cdot\vec{b} ) \vec{a}-\vec{b}} {| \vec{a} |}$$
1. 解析：
由向量平行条件，存在实数 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}$$，即：
$$\frac{1}{3} = k \cos \alpha$$
$$\tan \alpha = k \cdot 1$$
联立得 $$\tan \alpha = \frac{1}{3 \cos \alpha}$$，即 $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$。
由于 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{2 \sqrt{2}}{3}$$。
因此，$$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \alpha = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$。
答案为 C。
2. 解析：
矩形 $$ABCD$$ 中，$$AB = 3$$，$$AC = 5$$，则 $$AD = \sqrt{AC^2 - AB^2} = 4$$。
单位向量 $$\mathbf{e_1} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \left(1, 0\right)$$，$$\mathbf{e_2} = \frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|} = \left(0, 1\right)$$。
$$\overrightarrow{AC} = \left(3, 4\right) = x \mathbf{e_1} + y \mathbf{e_2} = \left(x, y\right)$$，故 $$x = 3$$，$$y = 4$$。
$$x + y = 7$$。
答案为 C。
3. 解析：
由题意，$$\overrightarrow{AC} = 5 \overrightarrow{AD}$$，即 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$$。
$$\overrightarrow{BE} = 2 \overrightarrow{BD}$$，即 $$\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = 2 (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$$。
解得 $$\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$。
与 $$\overrightarrow{AE} = m \overrightarrow{AB} + n \overrightarrow{AC}$$ 对比，得 $$m = -1$$，$$n = \frac{2}{5}$$。
$$m + n = -\frac{3}{5}$$。
答案为 D。
4. 解析：
因为 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 三点共线，所以 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{AC}$$ 平行。
$$\overrightarrow{AB} = (a - 1, 1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-b - 1, 2)$$。
平行条件为 $$(a - 1) \cdot 2 = 1 \cdot (-b - 1)$$，即 $$2a + b = 1$$。
由 $$a > 0$$，$$b > 0$$，利用不等式：
$$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{(2 + 1)^2}{2a + b} = 8$$，当且仅当 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = 0$$（舍去）或 $$a = \frac{1}{4}$$，$$b = \frac{1}{2}$$ 时取等。
答案为 C。
5. 解析：
由 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|$$，说明 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 同向。
因此存在正实数 $$\lambda$$，使得 $$\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$$。
答案为 D。
6. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 共线，存在实数 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}$$。
即 $$\overrightarrow{e_1} + m \overrightarrow{e_2} = k (-3 \overrightarrow{e_1} - \overrightarrow{e_2})$$。
解得 $$1 = -3k$$ 且 $$m = -k$$，故 $$m = \frac{1}{3}$$。
答案为 A。
7. 解析：
$$\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b} = (1 + \lambda, 2)$$。
与 $$\overrightarrow{c} = (3, 4)$$ 平行，需满足 $$\frac{1 + \lambda}{3} = \frac{2}{4}$$。
解得 $$\lambda = \frac{1}{2}$$。
答案为 B。
8. 解析：
由 $$\overrightarrow{AP} = (1 - \lambda) \overrightarrow{AB} + \frac{2 \lambda}{3} \overrightarrow{AC}$$，可知点 $$P$$ 在直线 $$BC$$ 和 $$AC$$ 之间运动。
利用参数方程计算轨迹与 $$BC$$、$$AC$$ 围成的区域面积，经计算面积为 $$10$$。
答案为 B。
9. 解析：
对称点 $$B_1$$ 的向量为 $$\overrightarrow{OB_1} = 2 \cdot \left( \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|^2} \right) \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$。
即 $$\frac{2 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2} - \overrightarrow{b}$$。
答案为 A。