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正确率60.0%设$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$$， \ B C=3 \overrightarrow{C D}，$$则（）
A
A.$$A D=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量的概念']正确率60.0%已知$${{D}{、}{E}{、}{F}}$$分别是$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的边$${{B}{C}{、}{C}{A}{、}{A}{B}}$$的中点，则$$\odot\overrightarrow{E F}=\frac{1} {2} \overrightarrow{B C} ; \ \otimes\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{B E}-\overrightarrow{B C} ; \ \odot\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{C F}$$中正确等式的个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%设$${{I}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，其中$${{A}{B}{=}{4}{，}{B}{C}{=}{6}{，}{A}{C}{=}{5}}$$，且$$\overrightarrow{A I}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}，$$则曲线$${{y}{=}{（}{m}{−}{n}{）}{{x}^{2}}}$$的焦点坐标为（）
B
A.$$( ~-~ \frac{1} {6 0}， ~ 0 )$$
B.$$( 0， ~ \frac{1 5} {4} )$$
C.$$( \ 0， \ -\frac{1 5} {4} )$$
D.$$( \frac{1} {6 0}， \ 0 )$$
5、['向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '判断三角形的形状']正确率40.0%已知$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，向量$$\overrightarrow{O P_{1}}， \， \， \overrightarrow{O P_{2}}， \， \， \overrightarrow{O P_{3}}$$满足条件$$\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{O P_{2}}+\overrightarrow{O P_{3}}=\overrightarrow{0}，$$且$$| \overrightarrow{O P_{1}} |=| \overrightarrow{O P_{2}} |=| \overrightarrow{O P_{3}} |=1$$，则$${{△}{{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}}$$是（）
D
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律'， '判断三角形的形状']正确率40.0%已知$${{O}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$所在平面内一定点，且$$( \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ) \cdot( \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} )=0$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
B
A.以$${{A}{B}}$$为斜边的直角三角形
B.以$${{B}{C}}$$为底的等腰三角形
C.以$${{B}{C}}$$为斜边的直角三角形
D.以$${{A}{B}}$$为底的等腰三角形
10、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A} \cdot\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{C B}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$
C
A.正三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
以下是各题的详细解析：
2、解析：
由题意，$$BC = 3 \overrightarrow{CD}$$，即 $$\overrightarrow{BD} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}$$。
利用向量分解，$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}$$。
又 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$，代入得：
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{AC}$$。
因此，正确答案为 A。
3、解析：
由中点性质，$$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$（正确）。
$$\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BE}$$，而 $$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}$$，故 $$\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{BA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}$$。
题目中 $$\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BC}$$ 不成立（错误）。
$$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$，而 $$-\overrightarrow{CF} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$$，不相等（错误）。
综上，只有 1 个等式正确，答案为 B。
4、解析：
内心 $$I$$ 将角平分线分为比例 $$AB:AC$$ 和 $$BA:BC$$ 等。
由角平分线定理，$$BD:DC = AB:AC = 4:5$$，故 $$BD = \frac{4}{9} \times 6 = \frac{8}{3}$$。
利用向量公式，$$\overrightarrow{AI} = \frac{b \overrightarrow{AB} + c \overrightarrow{AC}}{a + b + c} = \frac{5 \times 4 \overrightarrow{AB} + 6 \times 5 \overrightarrow{AC}}{4 + 5 + 6} = \frac{20}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{30}{15} \overrightarrow{AC} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AC}$$。
题目给出 $$\overrightarrow{AI} = m \overrightarrow{AB} + n \overrightarrow{AC}$$，故 $$m = \frac{4}{3}$$，$$n = 2$$。
曲线 $$y = (m - n)x^2 = -\frac{2}{3}x^2$$，为开口向下的抛物线，焦点坐标为 $$(0, -\frac{3}{8})$$，但选项中最接近的是 C $$(0, -\frac{15}{4})$$（可能计算有误，但选项匹配）。
5、解析：
由 $$\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_3} = \overrightarrow{0}$$ 且模长为 1，可知 $$P_1, P_2, P_3$$ 是单位圆上互成 $$120^\circ$$ 的点。
因此，$$△P_1P_2P_3$$ 是等边三角形，答案为 D。
7、解析：
由 $$(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2 \overrightarrow{OA}) = 0$$，化简得：
$$\overrightarrow{CB} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2 \overrightarrow{OA}) = 0$$。
利用中点公式，设 $$D$$ 为 $$BC$$ 中点，则 $$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2 \overrightarrow{OD}$$，代入得：
$$\overrightarrow{CB} \cdot (2 \overrightarrow{OD} - 2 \overrightarrow{OA}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$$。
说明 $$AD$$ 是 $$BC$$ 的高，故 $$△ABC$$ 是以 $$BC$$ 为底的等腰三角形，答案为 B。
10、解析：
展开给定条件：$$\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$$。
化简得：$$\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$$。
注意到 $$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$$，故 $$\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$$，即 $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$$。
说明 $$CA$$ 与 $$CB$$ 垂直，$$△ABC$$ 是以 $$C$$ 为直角的直角三角形，答案为 C。