向量数乘的定义与运算律-6.2 平面向量的运算知识点专题基础选择题自测题解析-宁夏回族自治区等高二数学必修,平均正确率66.0%

1、['向量数乘的定义与运算律']

正确率80.0%已知$${{a}}$$是非零向量，则“$${{λ}{≠}{0}}$$”是“$${{λ}{a}}$$与$${{a}}$$共线同向”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['余弦定理及其应用'， '向量加法的定义及运算法则'， '三角形的面积（公式）'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A C=6， \， \， B C=7， \， \， \， \operatorname{c o s} A=\frac{1} {5}， \， \， \， O$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，若$$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}，$$其中$$0 \leqslant x \leqslant1， \; \; 1 \leqslant y \leqslant2$$，动点$${{P}}$$的轨迹所覆盖的面积为（）

A.$$\frac{1 0} {3} \sqrt{6}$$

B.$$\frac{5} {3} \sqrt{6}$$

C.$$\frac{1 0} {3}$$

D.$$\frac{2 0} {3}$$

3、['共线向量基本定理'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%设单位向量$${{{e}_{1}}^{→}}$$与$${{{e}_{2}}^{→}}$$既不平行也不垂直，对非零向量$$\overrightarrow{a}=x_{1} \overrightarrow{e_{1}}+y_{1} \overrightarrow{e_{2}}， \; \; \overrightarrow{b}=x_{2} \overrightarrow{e_{1}}+y_{2} \overrightarrow{e_{2}}$$有结论：
$${①}$$若$$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$$，则$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$
$${②}$$若$$x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$$，则$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}.$$
关于以上两个结论，正确的判断是$${{(}{)}}$$

A.$${①}$$成立，$${②}$$不成立

B.$${①}$$不成立，$${②}$$成立

C.$${①}$$成立，$${②}$$成立

D.$${①}$$不成立，$${②}$$不成立

4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知点$${{D}}$$在边$${{B}{C}}$$上，且$$\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}，$$则$$\overrightarrow{A D}=($$）

A.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{A B}+{\frac{1} {2}} \overrightarrow{A C}$$

B.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$

C.$$\frac2 3 \overrightarrow{A B}+\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$

D.$$\frac{3} {4} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A C}$$

5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在$${{A}{B}}$$边上，且$$A D=2 D B$$，若$$\overrightarrow{A B}=a， \， \， \， \overrightarrow{A C}=b，$$则$$\overrightarrow{C D}$$等于

A.$$\frac{2} {3} a-b$$

B.$$\frac{2} {3} a+b$$

C.$$b-\frac{2} {3} a$$

D.$$b-\frac{1} {3} a$$

8、['向量减法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$A B=4， \， \， \， A C=6， \， \， \， \angle B A C=6 0^{\circ}$$，点$${{D}{，}{E}}$$分别在边$$A B， \ A C$$上，且$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A D}， \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A E}，$$点$${{F}}$$为$${{D}{E}}$$的中点，则$$\overrightarrow{B F} \cdot\overrightarrow{D E}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

9、['平面向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$和点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0.$$若存在实数$${{k}}$$使得$$\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B}=k \overrightarrow{C M}$$成立，则$${{k}{=}{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

1. 解析：

对于非零向量$$a$$，若$$λa$$与$$a$$共线同向，则$$λ$$必须为正实数。因此“$$λ≠0$$”是必要条件，但不是充分条件（因为$$λ$$可能为负）。故选B。

2. 解析：

首先利用余弦定理求$$AB$$：$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A = 36 + 49 - 84 \cdot \frac{1}{5} = 85 - 16.8 = 68.2$$，$$AB = \sqrt{68.2}$$。内心$$O$$的向量表示为$$\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB}$$，其中$$x$$和$$y$$的范围限制$$P$$的轨迹为一个平行四边形，面积为$$2 \times \text{面积} \triangle OAB$$。通过计算得面积为$$\frac{10}{3}\sqrt{6}$$。故选A。

3. 解析：

结论①：若$$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$$，则向量$$a$$与$$b$$线性相关，故平行，成立。结论②：若$$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$$，在非正交基下不能保证$$a \perp b$$，不成立。故选A。

4. 解析：

由$$\overrightarrow{BD} = 2 \overrightarrow{DC}$$，得$$D$$分$$BC$$为2:1。利用分点公式，$$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$。故选C。

5. 解析：

由$$AD = 2DB$$，得$$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$$。故$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}a - b$$。故选A。

8. 解析：

由题意，$$D$$为$$AB$$中点，$$E$$分$$AC$$为1:2。计算$$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}b - \frac{1}{2}a$$，$$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}a) - (-\frac{1}{2}a)$$。点积$$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{DE} = 4$$。故选C。

9. 解析：

由$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 0$$，知$$M$$为重心。故$$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 3 \overrightarrow{CM}$$，$$k = 3$$。故选B。

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