向量的线性运算-平面向量的运算知识点考前基础单选题自测题解析-吉林省等高二数学必修,平均正确率72.0%

1、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率80.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{G}}$$为$${{△}{B}{C}{D}}$$的重心，$$\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$$，则$${{3}{x}{+}{y}{=}{(}{)}}$$

A.$$\frac{7} {3}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$${{3}}$$

4、['平面向量基本定理'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']

正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=3， \， \， \， A D=2， \， \， \， \overrightarrow{A P}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A Q}=\frac{1} {2} \overrightarrow{A D}$$，若$$\overrightarrow{C P} \cdot\overrightarrow{C Q}=1 2，$$则$${{∠}{B}{A}{D}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{\pi} {4}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {2}$$

D.$$\frac{2 \pi} {3}$$

5、['判断三角形的形状'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']

正确率60.0%点$${{O}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$所在平面上一点，且$$( \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ) \cdot( \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} )=0$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状为（）

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

6、['数量积的运算律'， '向量的线性运算']

正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}}$$是单位圆$${{O}}$$上的两个动点，$$| A B |=\sqrt{2}， \， \， \， \overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$$.若$${{M}}$$是线段$${{A}{B}}$$
的中点，则$$\overrightarrow{O C} \cdot\overrightarrow{O M}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$${{2}}$$

7、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$满足$$\overrightarrow{B D}=\frac{3} {4} \overrightarrow{B C}$$，当$${{E}}$$点在线段$${{A}{D}{（}}$$不包含端点）上移动时，$$\overrightarrow{A E}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$，则$$\lambda+\frac{3} {\mu}$$的取值范围是（）

A.$${[ \frac{2 \sqrt{3}} {2}， ~+\infty)}$$

B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$$( \frac{1 7} {4}， ~+\infty)$$

D.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

9、['共线向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率60.0%下列各组向量中，一定能推出$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}}$$的是（）
①$${{a}^{→}{=}{−}{3}{{e}^{→}}}$$，$${{b}^{→}{=}{2}{{e}^{→}}}$$；
②$${{a}^{→}{=}{{{e}_{1}}^{→}}{−}{{{e}_{2}}^{→}}}$$，$$\vec{b}=\frac{\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}} {2}-\vec{e_{1}}$$；
③$${{a}^{→}{=}{{{e}_{1}}^{→}}{−}{{{e}_{2}}^{→}}}$$，$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\frac{\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}} {2}$$.

A.①

B.①②

C.②③

D.①②③

10、['复平面内的点、复数及平面向量'， '向量的线性运算']

正确率80.0%已知$$\overrightarrow{O A}=( 5，-1 )$$，$$\overrightarrow{O B}=( 3， 2 )$$，则$$\overrightarrow{A B}$$在复平面上所对应的复数是$${{(}{)}}$$

A.$${{5}{−}{i}}$$

B.$${{3}{+}{2}{i}}$$

C.$${{2}{−}{3}{i}}$$

D.$${{−}{2}{+}{3}{i}}$$

1. 在平行四边形$$ABCD$$中，$$G$$为$$△BCD$$的重心，因此$$G$$的坐标可以表示为$$B$$、$$C$$、$$D$$坐标的平均值。设$$A$$为原点，则： $$ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} $$ 由于$$ABCD$$是平行四边形，$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$，代入得： $$ \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AD}}{3} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}}{3} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} $$ 因此$$x = \frac{2}{3}$$，$$y = \frac{2}{3}$$，所以$$3x + y = 3 \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$。但选项中没有$$\frac{8}{3}$$，可能是题目描述有误或选项错误。

4. 设$$A$$为原点，$$AB$$沿$$x$$轴方向，则$$B(3,0)$$，$$D(0,2)$$，$$C(3,2)$$。$$P$$为$$AB$$的三等分点，$$P(1,0)$$；$$Q$$为$$AD$$的中点，$$Q(0,1)$$。向量$$\overrightarrow{CP} = (-2,-2)$$，$$\overrightarrow{CQ} = (-3,-1)$$。点积为： $$ \overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{CQ} = (-2)(-3) + (-2)(-1) = 6 + 2 = 8 $$ 题目给出点积为12，说明角度不为直角。设$$∠BAD = \theta$$，则$$D(2\cos\theta, 2\sin\theta)$$，$$C(3 + 2\cos\theta, 2\sin\theta)$$。重新计算点积： $$ \overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{CQ} = (1 - (3 + 2\cos\theta))(0 - (3 + 2\cos\theta)) + (0 - 2\sin\theta)(1 - 2\sin\theta) $$ 简化后得$$12 = 6\cos\theta + 4\sin^2\theta$$，解得$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。

5. 将条件展开： $$ (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}) = 0 $$ 即： $$ \overrightarrow{CB} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}) = 0 $$ 设$$O$$为原点，则： $$ (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) \cdot (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{A}) = 0 $$ 展开得： $$ |\overrightarrow{B}|^2 - |\overrightarrow{C}|^2 - 2\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{C} = 0 $$ 这表明$$|\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}|$$，即$$AB = AC$$，因此$$△ABC$$是等腰三角形。

6. 设$$O$$为原点，$$A(1,0)$$，$$B(0,1)$$，则$$|AB| = \sqrt{2}$$符合题意。$$M$$为$$AB$$的中点，$$M(0.5,0.5)$$。$$\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (2,0) - (0,1) = (2,-1)$$。点积为： $$ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OM} = 2 \times 0.5 + (-1) \times 0.5 = 1 - 0.5 = 0.5 $$ 即$$\frac{1}{2}$$。

7. 设$$A$$为原点，$$B$$和$$C$$为坐标轴上的点。$$D$$满足$$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$，因此$$D$$的坐标为$$\frac{3}{4}C + \frac{1}{4}B$$。$$E$$在$$AD$$上，设$$\overrightarrow{AE} = t \overrightarrow{AD}$$，$$t \in (0,1)$$。则： $$ \overrightarrow{AE} = t \left( \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \right) = \frac{t}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3t}{4}\overrightarrow{AC} $$ 因此$$\lambda = \frac{t}{4}$$，$$\mu = \frac{3t}{4}$$。$$\lambda + \frac{3}{\mu} = \frac{t}{4} + \frac{4}{t}$$。由于$$t \in (0,1)$$，函数在$$(0,1)$$单调递减，最小值为$$t \to 1^-$$时$$\frac{17}{4}$$，趋向于$$+\infty$$。因此取值范围是$$(\frac{17}{4}, +\infty)$$。

9. ①$$a = -3e$$，$$b = 2e$$，显然$$a$$与$$b$$平行；②$$a = e_1 - e_2$$，$$b = -\frac{e_1}{2} + \frac{e_2}{2}$$，$$b = -\frac{1}{2}a$$，平行；③$$a = e_1 - e_2$$，$$b = \frac{3}{2}e_1 + \frac{3}{2}e_2$$，$$b = \frac{3}{2}(e_1 + e_2)$$，与$$a$$不平行。因此①②正确。

10. $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3-5, 2-(-1)) = (-2,3)$$。在复平面上对应的复数是$$-2 + 3i$$。

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