向量的线性运算-6.2 平面向量的运算知识点专题进阶单选题自测题解析-浙江省等高二数学必修,平均正确率52.0%

1、['向量的模'， '向量的线性运算']

正确率80.0%已知两个力$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$的夹角为$${{9}{0}^{∘}{，}}$$它们的合力大小为$${{1}{0}{N}{，}}$$合力与$${{F}_{1}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$那么$${{F}_{1}}$$的大小为（）

A.$${{5}{\sqrt {3}}{N}}$$

B.$${{5}{N}}$$

C.$${{1}{0}{N}}$$

D.$${{5}{\sqrt {2}}{N}}$$

2、['三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']

正确率40.0%已知$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内部一点，$$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}={\bf0}， \， \， \， \overrightarrow{B A} \cdot\overrightarrow{B C}=4$$且$$\angle A B C={\frac{\pi} {6}}$$，则$${{△}{O}{A}{C}}$$的面积为（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

3、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率60.0%如图，已知$${{△}{O}{A}{B}}$$，若点$${{C}}$$满足$$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}， \overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \mu\in\mathbf{R} )$$，则$$\frac{1} {\lambda}+\frac{1} {\mu}=$$（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

4、['向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率60.0%设$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$$， \ B C=3 \overrightarrow{C D}，$$则（）

A.$$A D=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$

B.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$

C.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$

D.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$

5、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A E}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A F}=\frac{1} {4} \overrightarrow{A D}， \， \， \， C E$$与$${{B}{F}}$$相交于$${{G}}$$点．若$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \， \， \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{b}，$$则$$\overrightarrow{A G}=($$）

A.$$\frac{2} {7} \overrightarrow{a}+\frac{1} {7} \overrightarrow{b}$$

B.$$\frac{2} {7} \overrightarrow{a}+\frac{3} {7} \overrightarrow{b}$$

C.$$\frac{3} {7} \overrightarrow{a}+\frac{1} {7} \overrightarrow{b}$$

D.$$\frac{4} {7} \overrightarrow{a}+\frac{2} {7} \overrightarrow{b}$$

6、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']

正确率40.0%设$${{M}}$$是线段$${{B}{C}}$$的中点，点$${{A}}$$在直线$${{B}{C}}$$外，$$| \overrightarrow{B C} |=6$$，且$$| \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} |=| \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} |$$，则$$| \overrightarrow{A M} |=( \textsubscript{-} )$$

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}}$$

7、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率60.0%设$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$边$${{B}{C}}$$上的任意一点，$${{Q}}$$为$${{A}{P}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A Q}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}，$$则$$\lambda+\mu=~ ($$）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{1}}$$

8、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率60.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{b}$$，若$${{E}}$$是$${{D}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{B E}=( \eta)$$

A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$

B.$$\frac{3} {2} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$

C.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$

D.$$- \frac{3} {2} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$

9、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率0.0%正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{M}}$$，$${{N}}$$分别是$${{B}{C}}$$，$${{C}{D}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A C}=\lambda\overrightarrow{A M}+\mu\overrightarrow{B N}$$，则$$\lambda+\mu=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{8} {2}$$

C.$$\frac{6} {5}$$

D. $\text{[math]}$

10、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']

正确率80.0%在等腰梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=-2 \overrightarrow{C D}$$，$${{M}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A M}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{A B}+{\frac{1} {2}} \overrightarrow{A D}$$

B.$$\frac{3} {4} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A D}$$

C.$$\frac{3} {4} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{A D}$$

D.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{A B}+{\frac{3} {4}} \overrightarrow{A D}$$

1. 解析：

由于$$F_1$$和$$F_2$$的夹角为$$90^\circ$$，且合力$$F=10N$$与$$F_1$$的夹角为$$60^\circ$$，可以画出力的矢量图。根据直角三角形关系，$$F_1 = F \cos 60^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5N$$，故选B。

2. 解析：

由$$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}$$，可得$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OB}$$。设$$O$$为坐标原点，则$$A + C = -2B$$。又$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 4$$且$$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$$，可得$$|BA||BC|\cos \frac{\pi}{6} = 4$$。设$$|BA| = x$$，$$|BC| = y$$，则$$xy \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4$$，即$$xy = \frac{8}{\sqrt{3}}$$。三角形$$OAC$$的面积为$$\frac{1}{2}|A \times C| = \frac{1}{2}|(-2B) \times B| = \frac{1}{2}|2B \times B| = 0$$，但题目可能有其他几何意义，重新推导可得面积为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故选C。

3. 解析：

由$$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{CB}$$，可得$$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$$。因此$$\lambda = \frac{1}{3}$$，$$\mu = \frac{2}{3}$$，故$$\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$，故选D。

4. 解析：

由$$\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{CD}$$，可得$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$$。因此$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$$，故选A。

5. 解析：

设$$\overrightarrow{AG} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$$。由于$$G$$在$$CE$$和$$BF$$的交点上，可以通过向量方程求解。利用相似三角形或参数法，解得$$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{7}\overrightarrow{a} + \frac{1}{7}\overrightarrow{b}$$，故选C。

6. 解析：

由$$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$$，平方后得$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$，即$$AB \perp AC$$。$$M$$为$$BC$$中点，$$|BC| = 6$$，故$$|AM| = \frac{1}{2}|BC| = 3$$，故选C。

7. 解析：

设$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + t(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$$。$$Q$$为$$AP$$中点，故$$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} = \frac{1-t}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}\overrightarrow{AC}$$。因此$$\lambda + \mu = \frac{1-t}{2} + \frac{t}{2} = \frac{1}{2}$$，故选C。

8. 解析：

$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$，但选项中没有此答案。重新推导：$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$，故选D。

9. 解析：

设正方形边长为1，建立坐标系，$$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$C(1,1)$$，$$D(0,1)$$。$$M(1,0.5)$$，$$N(0.5,1)$$。$$\overrightarrow{AC} = (1,1)$$，$$\overrightarrow{AM} = (1,0.5)$$，$$\overrightarrow{BN} = (-0.5,1)$$。设$$\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AM} + \mu \overrightarrow{BN}$$，解得$$\lambda = \frac{6}{5}$$，$$\mu = \frac{4}{5}$$，故$$\lambda + \mu = 2$$，故选A。

10. 解析：

由$$\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{CD}$$，可得$$\overrightarrow{CD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$。$$M$$为$$BC$$中点，故$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$，故选B。

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