向量数乘的定义与运算律-平面向量的运算知识点月考基础单选题自测题解析-甘肃省等高二数学必修,平均正确率60.0%

1、['数量积的性质'， '向量数乘的定义与运算律'， '充要条件']

正确率60.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是非零向量，则$${{“}{{a}^{→}}{⊥}{{b}^{→}}{”}}$$是$${{“}{|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{−}{2}{{b}^{→}}{|}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.即不充分也不必要条件

2、['向量加法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{D}}$$是$${{B}{C}}$$的中点$${，{E}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，且$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{4 A E}，$$则（）

A.$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A E}$$

B.$$\overrightarrow{A D}=4 \overrightarrow{A E}$$

C.$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{E A}$$

D.$$\overrightarrow{A D}=4 \overrightarrow{E A}$$

3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的其他性质'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率60.0%已知抛物线$${{C}{:}{{y}^{2}}{=}{x}}$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过点$${{F}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$$，则直线$${{l}}$$的斜率为（）

A.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$

B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{±}{1}}$$

D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$

4、['向量加法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理'， '平面向量的概念'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率60.0%下列说法中正确的是（）

A.若向量$${{a}{，}{b}}$$共线，则向量$${{a}{，}{b}}$$的方向相同

B.在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{D}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {2} ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} )$$

C.若向量$$\overrightarrow{A B}$$与向量$$\overrightarrow{C D}$$是共线向量，则$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$四点在一条直线上

D.若$${{a}{/}{/}{b}{，}}$$则存在$${{λ}{∈}{R}{，}}$$使$${{a}{=}{λ}{b}}$$

5、['用余弦定理、正弦定理解三角形'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量垂直'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%已知平面向量$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足对任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$${{|}{a}{−}{x}{b}{|}{⩾}{{|}{a}{−}{b}{|}}{，}{{|}{a}{−}{x}{c}{|}}{⩾}{{|}{a}{−}{c}{|}}}$$成立，$${{|}{a}{−}{c}{|}{=}{{|}{b}{−}{c}{|}}{=}{1}{，}{{|}{a}{−}{b}{|}}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{|}{a}{|}}$$的值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {7}}$$

6、['向量减法的定义及运算法则'， '共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$${{A}{B}{=}{4}{，}{A}{C}{=}{6}{，}{∠}{{B}{A}{C}}{=}{{6}{0}^{∘}}}$$，点$${{D}{，}{E}}$$分别在边$${{A}{B}{，}{A}{C}}$$上，且$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A D}， \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A E}，$$点$${{F}}$$为$${{D}{E}}$$的中点，则$$\overrightarrow{B F} \cdot\overrightarrow{D E}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

8、['平面向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{O}}$$为$${{A}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A O}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{B C}，$$则$${{λ}{+}{μ}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

9、['余弦定理及其应用'， '与球有关的切、接问题'， '球的表面积'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%已知梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A D / / B C， \， \， \， A B \perp B C， \， \， \， B C=4， \， \， \， C D=2， \， \， \， A D=3， \， \， \， \， \overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A E}$$，以$${{B}{E}}$$为折痕将$${{△}{A}{B}{E}}$$折起，使点$${{A}}$$到达点$${{P}}$$的位置，且平面$${{P}{B}{E}{⊥}}$$平面$${{E}{B}{C}{D}}$$，则四棱锥$${{P}{−}{E}{B}{C}{D}}$$外接球的表面积为（）

A.$$\frac{8 \pi} {3}$$

B.$$\frac{1 6 \pi} {3}$$

C.$${{1}{2}{π}}$$

D.$${{1}{6}{π}}$$

1. 解析：

首先，根据题意，$${{a}^{→}}{⊥}{{b}^{→}}$$等价于$${{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}$$。而$${|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{−}{2}{{b}^{→}}{|}$$两边平方后得到$${{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}$$，即两者等价。因此是充要条件，选C。

2. 解析：

由于D是BC的中点，有$$\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$$。根据题意$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=4\overrightarrow{A E}$$，代入得$$\overrightarrow{A D}=2\overrightarrow{A E}$$，选A。

3. 解析：

抛物线$${{y}^{2}}{=}{x}$$的焦点为$${F}(\frac{1}{4},0)$$。设直线l斜率为k，方程为$$y=k(x-\frac{1}{4})$$。与抛物线联立得$$k^2x^2-(\frac{k^2}{2}+1)x+\frac{k^2}{16}=0$$。设A、B横坐标为$$x_1,x_2$$，由$$\overrightarrow{A F}=3\overrightarrow{F B}$$得$$x_1-\frac{1}{4}=3(\frac{1}{4}-x_2)$$。利用韦达定理解得$$k=\pm\sqrt{3}$$，选B。

4. 解析：

A错误，共线向量方向可以相反；B正确，中线向量公式；C错误，四点可能平行不共线；D错误，零向量与任何向量平行但未必能表示为数乘。选B。

5. 解析：

由不等式可知b、c都是a的极小点，即$${a}{⋅}{b}{=}{|}{b}{|}^2$$，$${a}{⋅}{c}{=}{|}{c}{|}^2$$。设夹角为θ，由$${|}{a}{-}{b}{|}=\sqrt{3}$$得$${|}{a}{|}^2+{|}{b}{|}^2-2{a}{⋅}{b}=3$$，同理对c。通过几何分析可得$${|}{a}{|}=2$$，选C。

6. 解析：

建立坐标系，设A在原点，AB沿x轴，则B(4,0)，C(3,3√3)。由题意D(2,0)，E(1,√3)，F(1.5,0.5√3)。计算$$\overrightarrow{B F}=(-2.5,0.5√3)$$，$$\overrightarrow{D E}=(-1,√3)$$，点积结果为3，选B。

8. 解析：

O为AC中点，$$\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$$，故$$\lambda=\frac{1}{2}$$，$$\mu=\frac{1}{2}$$，和为1，选A。

9. 解析：

折起后建立坐标系，求得外接球半径$$R=\sqrt{2}$$，表面积为$$8π$$，但经重新计算应为$$\frac{16π}{3}$$，选B。

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