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正确率40.0%空间四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$中，点$${{M}}$$是边$${{O}{A}}$$的中点，点$${{N}}$$为边$${{B}{C}}$$上的点，且$$C N={\frac{1} {2}} N B$$．若$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{c}，$$则$$\overrightarrow{M N}$$等于（）
D
A.$$\frac1 3 \overrightarrow{a}-\frac1 2 \overrightarrow{b}-\frac1 2 \overrightarrow{c}$$
B.$$- \frac1 3 \overrightarrow{a}+\frac1 3 \overrightarrow{b}+\frac1 2 \overrightarrow{c}$$
C.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\frac{1} {3} \overrightarrow{b}-\frac{1} {3} \overrightarrow{c}$$
D.$$- \frac1 2 \overrightarrow{a}+\frac1 3 \overrightarrow{b}+\frac2 3 \overrightarrow{c}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在$${{A}{B}}$$边上，且$$A D=2 D B$$，若$$\overrightarrow{A B}=a， \， \， \， \overrightarrow{A C}=b，$$则$$\overrightarrow{C D}$$等于
A
A.$$\frac{2} {3} a-b$$
B.$$\frac{2} {3} a+b$$
C.$$b-\frac{2} {3} a$$
D.$$b-\frac{1} {3} a$$
5、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A B C=9 0^{\circ}， \; \; A B=4， \; \; D$$是边$${{B}{C}}$$上一动点，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D}=( \textit{} )$$
C
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.无法确定
6、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A B {=} 3， \; \; A C {=} 2， \; \; \angle B A C {=} 1 2 0^{\circ}$$，点$${{D}}$$为$${{B}{C}}$$边上一点，$$B D \!=\! 2 D C$$，则$$A B \cdot A D \mathrm{=} ( \textit{} )$$
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义'， '命题的真假性判断']正确率60.0%已知下面四个命题：$$\textcircled{( A B+B A )}=\overrightarrow{0}， \， \， \oplus\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}， \， \， \oplus\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B C}， \， \， \oplus\overrightarrow{0} \cdot\overrightarrow{A B}=0$$. 其中正确的个数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%下列命题正确的个数是$${{(}{)}}$$
$$\oplus\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O}$$；$$\odot\overrightarrow{O} \cdot\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O}， \ \oplus\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B C}$$；$$\oplus O \cdot\overrightarrow{A B}=O$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['向量加法的定义及运算法则']正确率60.0%已知平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的对角线相交于点$${{O}}$$，$${{E}}$$为$${{A}{C}}$$上一点，且$$\overrightarrow{A E}=\frac{1} {3} \overrightarrow{E C}$$，若$$\overrightarrow{B E}=x \overrightarrow{B A}+y \overrightarrow{B D} ( x$$，$${{y}{∈}{R}{)}}$$，则$${{x}{+}{y}{=}}$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
1. 已知 $$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$$, $$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$$, M 是 OA 中点, N 在 BC 上且 CN = $$\frac{1}{2}$$ NB.
向量 $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$$.
$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$$.
N 在 BC 上, CN : NB = 1 : 2, 所以 CN : CB = 1 : 3, 即 N 分 CB 为 1 : 2.
$$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{3} \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{c} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{c} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{c}$$.
因此 $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{c}$$.
对应选项 D.
3. 在 $$\Delta ABC$$ 中, D 在 AB 上, AD = 2 DB, $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$$.
AD : DB = 2 : 1, 所以 D 分 AB 为 2 : 1.
$$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a}$$.
$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$.
对应选项 A.
5. 在 $$\Delta ABC$$ 中, $$\angle ABC = 90^{\circ}$$, AB = 4, D 是 BC 上一动点.
求 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$$.
设 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{BD}$$.
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{BD}) = |\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{BD}$$.
由于 $$\angle ABC = 90^{\circ}$$, AB ⟂ BC, 所以 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{BD}$$, 即 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$$.
因此 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{a}|^2 = 4^2 = 16$$.
对应选项 C.
6. 在 $$\Delta ABC$$ 中, AB = 3, AC = 2, $$\angle BAC = 120^{\circ}$$, D 在 BC 上, BD = 2 DC.
求 AB · AD.
设 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$$, 则 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos 120^{\circ} = 3 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -3$$.
D 分 BC 为 BD : DC = 2 : 1, 所以 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}$$.
AB · AD = $$\overrightarrow{a} \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}) = \frac{1}{3} |\overrightarrow{a}|^2 + \frac{2}{3} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{3} \times 9 + \frac{2}{3} \times (-3) = 3 - 2 = 1$$.
对应选项 C.
8. 判断四个命题:
① $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$$: 正确, 因为 $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$.
② $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$: 正确, 向量加法三角形法则.
③ $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$: 错误, 应为 $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$, 但原题写的是 $$\overrightarrow{BC}$$, 所以错误.
④ $$\overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$: 正确, 零向量与任何向量点积为 0.
正确个数为 3 个, 对应选项 C.
9. 判断四个命题:
① $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{O}$$: 正确.
② $$\overrightarrow{O} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{O}$$: 错误, 点积结果是标量 0, 不是向量.
③ $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$$: 错误, 应为 $$\overrightarrow{CB}$$.
④ $$O \cdot \overrightarrow{AB} = O$$: 正确, 标量 0.
正确个数为 2 个, 对应选项 B.
10. 平行四边形 ABCD, O 为对角线交点, E 在 AC 上, $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{EC}$$, 即 AE : EC = 1 : 3.
$$\overrightarrow{BE} = x \overrightarrow{BA} + y \overrightarrow{BD}$$, 求 x + y.
$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE}$$.
$$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$, 因为 AE : AC = 1 : 4.
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$.
$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$$.
设 $$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{u}$$, $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{v}$$, 则 $$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{u}$$, $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}?$$ 需调整.
更好: $$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{BA} - \frac{1}{4} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$$.
又 $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}$$, 所以 $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA}$$.
代入: $$\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA}) = \frac{3}{4} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} - \frac{1}{4} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{BD}$$.
因此 x = $$\frac{1}{2}$$, y = $$\frac{1}{4}$$, x + y = $$\frac{3}{4}$$.
对应选项 C.