.jpg)
正确率60.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {2} a+b$$
B.$$\frac1 4 a+\frac1 2 b$$
C.$$a+\frac{1} {2} b$$
D.$$\frac1 2 a+\frac1 4 b$$
2、['向量加法的运算律'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知单位向量$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$满足$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$$，则向量$${{a}{⃗}}$$与向量$${{b}^{⃗}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
3、['向量加法的运算律'， '平面向量基本定理']正确率60.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{M}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A B}=\lambda\overrightarrow{A M}+\mu\overrightarrow{D B}，$$则$${{λ}{μ}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
4、['向量加法的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%已知平面上的两个向量$$\overrightarrow{O A}$$和$$\overrightarrow{O B}$$满足$$| \overrightarrow{O A} |=\operatorname{c o s} \alpha， \; \; | \overrightarrow{O B} |=\operatorname{s i n} \alpha， \; \; \alpha\in[ 0， \; \; \frac{\pi} {2} ]， \; \; \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$$，若向量$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} \ ( \lambda， \ \mu\in R )$$且$$( \， 2 \lambda-1 )^{\mathrm{\Delta~} 2} \cos^{2} \alpha+\mathrm{\Delta~} ( \， 2 \mu-1 )^{\mathrm{\Delta~} 2} \sin^{2} \alpha=\frac{1} {4}$$，则$$| \overrightarrow{O C} |$$的最大值是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
5、['向量加法的运算律'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}， \， \， \overrightarrow{A C}， \， \， \overrightarrow{A D}$$满足$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}， \; \; | \overrightarrow{A B} |=2， \; \; | \overrightarrow{A D} |=1， \; \; E， \; \; F$$分别是线段$$B C， ~ C D$$的中点，若$$\overrightarrow{D E} \cdot\overrightarrow{B F}=-\frac{5} {4}，$$则向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A D}$$的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
6、['向量加法的运算律'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
7、['向量加法的运算律']正确率60.0%下列向量的运算结果为零向量的是（）
D
A.$$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B}$$
B.$$\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M P}$$
C.$$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}$$
D.$$\overrightarrow{M P}+\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q G}+\overrightarrow{G M}$$
8、['向量加法的运算律'， '共线向量基本定理'， '向量的模'， '三角形的“四心”']正确率40.0%有下列说法：$${①}$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{b} / / \overrightarrow{c}，$$则$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{c} \， ; \， \ \emptyset$$若$$2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}， \， \， S_{\Delta A O C}， \， \， S_{\Delta A B C}$$分别表示$$\bigtriangleup A O C， \ \triangle A B C$$
的面积，则$$S_{\triangle A O C \colon} \ S_{\triangle A B C}=1 \colon\ 6 ;$$两个非零向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$若$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b} |$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$共线且反向；$${④}$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则存在唯一实数$${{λ}}$$使得$$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}，$$其中正确的说法个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则']正确率60.0%svg异常
D
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
10、['向量加法的运算律'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%在$$- A B C D$$中，$$A B=2， ~ ~ A D=1$$，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E D}$$.若$$\overrightarrow{E A}_{\perp} \overrightarrow{E B}$$，则$$\operatorname{c o s} \angle B A D$$的值为
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$- \frac{1} {6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac2 3$$
第1题解析：
题目描述不完整，无法解析。
第2题解析：
已知单位向量$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$满足$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$$。将等式两边平方得：
$$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$$
由于$$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$，代入后化简得：
$$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$$
因为$$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$$，代入得：
$$\vec{a} \cdot \vec{c} = -\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = -1 - \vec{a} \cdot \vec{b}$$
$$\vec{b} \cdot \vec{c} = -\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = -1 - \vec{a} \cdot \vec{b}$$
将以上结果代入原式：
$$3 + 2\left(\vec{a} \cdot \vec{b} -1 - \vec{a} \cdot \vec{b} -1 - \vec{a} \cdot \vec{b}\right) = 0$$
化简得：
$$3 + 2(-2 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \Rightarrow -1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$$
设$$\theta$$为$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$的夹角，则：
$$\cos \theta = \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$$
因此，$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，答案为$$C$$。
第3题解析：
设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，则$$\overrightarrow{DB} = \vec{a} - \vec{b}$$。
因为$$M$$是$$BC$$的中点，所以$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$。
根据题意：
$$\vec{a} = \lambda \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) + \mu (\vec{a} - \vec{b})$$
展开并整理：
$$\vec{a} = \left(\frac{\lambda}{2} + \mu\right)\vec{a} + \left(\frac{\lambda}{2} - \mu\right)\vec{b}$$
由于$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$线性无关，系数对应相等：
$$\frac{\lambda}{2} + \mu = 1$$
$$\frac{\lambda}{2} - \mu = 0$$
解得：
$$\lambda = 1$$，$$\mu = \frac{1}{2}$$
因此，$$\lambda \mu = \frac{1}{2}$$，但选项中没有此答案。检查题目描述是否有误。
第4题解析：
由题意，$$\overrightarrow{OA}$$和$$\overrightarrow{OB}$$垂直，且$$|\overrightarrow{OA}| = \cos \alpha$$，$$|\overrightarrow{OB}| = \sin \alpha$$。
设$$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$$，则：
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \lambda^2 \cos^2 \alpha + \mu^2 \sin^2 \alpha$$
题目给出的条件为：
$$(2\lambda -1)^2 \cos^2 \alpha + (2\mu -1)^2 \sin^2 \alpha = \frac{1}{4}$$
设$$x = 2\lambda -1$$，$$y = 2\mu -1$$，则条件变为：
$$x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha = \frac{1}{4}$$
这是一个椭圆方程，其参数形式为：
$$x = \frac{1}{2\cos \alpha} \cos \theta$$，$$y = \frac{1}{2\sin \alpha} \sin \theta$$
因此，$$\lambda = \frac{1 + x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\cos \theta}{4\cos \alpha}$$
$$\mu = \frac{1 + y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sin \theta}{4\sin \alpha}$$
代入$$|\overrightarrow{OC}|^2$$：
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \left(\frac{1}{2} + \frac{\cos \theta}{4\cos \alpha}\right)^2 \cos^2 \alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sin \theta}{4\sin \alpha}\right)^2 \sin^2 \alpha$$
展开并化简：
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{4} + \frac{\cos \theta}{4} + \frac{\cos^2 \theta}{16} + \frac{\sin^2 \alpha}{4} + \frac{\sin \theta}{4} + \frac{\sin^2 \theta}{16}$$
利用$$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$和$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$：
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \frac{1}{4} + \frac{\cos \theta + \sin \theta}{4} + \frac{1}{16}$$
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \frac{5}{16} + \frac{\cos \theta + \sin \theta}{4}$$
最大值出现在$$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$$时：
$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \frac{5}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.3125 + 0.3535 = 0.666$$
但选项中没有匹配的答案，可能题目条件理解有误。
第5题解析：
设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，则$$\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$$。
点$$E$$是$$BC$$的中点，$$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$
点$$F$$是$$CD$$的中点，$$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} = \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b}$$
根据题意：
$$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BF} = \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{4}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 = -\frac{5}{4}$$
代入$$|\vec{b}| = 1$$：
$$\frac{1}{4}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -6$$
但$$|\vec{a}| = 2$$，$$|\vec{b}| = 1$$，所以：
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-6}{2 \times 1} = -3$$
这超出了余弦函数的取值范围，题目可能有误。
第6题解析：
题目描述不完整，无法解析。
第7题解析：
逐项分析：
A. $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} \neq 0$$
B. $$\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MP} = (\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MP}) + \overrightarrow{MN} = 0 + \overrightarrow{MN} \neq 0$$
C. $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{CD} = 0 + \overrightarrow{CD} \neq 0$$
D. $$\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QG} + \overrightarrow{GM} = (\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QG} + \overrightarrow{GM}) = 0$$
答案为$$D$$。
第8题解析：
逐项分析：
① 若$$\vec{a} \parallel \vec{b}$$且$$\vec{b} \parallel \vec{c}$$，当$$\vec{b} = 0$$时，$$\vec{a}$$和$$\vec{c}$$不一定平行，错误。
② 由$$2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = 0$$，可以通过向量分析得到面积比为$$1:6$$，正确。
③ 若$$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$$，则$$\vec{a}$$与$$\vec{b}$$反向共线，正确。
④ 若$$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，当$$\vec{b} = 0$$且$$\vec{a} \neq 0$$时，不存在$$\lambda$$，错误。
因此，正确的说法有$$2$$个，答案为$$B$$。
第9题解析：
题目描述不完整，无法解析。
第10题解析：
设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，则$$\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{ED}$$表示$$E$$将$$CD$$分为$$2:1$$。
因此，$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$$
$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \vec{b} + \frac{2}{3}(-\vec{a}) = \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$$
根据题意：
$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} = \left(\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}\right) \cdot \left(\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}\right) = |\vec{b}|^2 - \frac{2}{3}\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{2}{9}|\vec{a}|^2 = 0$$
化简得：
$$1 - \frac{1}{3}\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{8}{9} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}$$
因此：
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{3}}{2 \times 1} = \frac{1}{6}$$
答案为$$A$$。