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正确率60.0%点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，若$$\overrightarrow{C B}=\lambda\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}，$$其中$${{λ}{∈}{R}{，}}$$则点$${{P}}$$一定在（）
B
A.$${{△}{A}{B}{C}}$$内部
B.$${{A}{C}}$$边所在的直线上
C.$${{A}{B}}$$边所在的直线上
D.$${{B}{C}}$$边所在的直线上
2、['平面向量的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '平面向量的概念']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1，-2 )$$，$$\overrightarrow{b}=(-2， 2 )$$，则与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$同向的单位向量的坐标为$${{(}{)}}$$
A.$$(-\frac{3} {5}，-\frac{4} {5} )$$
B.$$( \frac{3} {5}，-\frac{4} {5} )$$
C.$$( {\frac{3} {5}}， {\frac{4} {5}} )$$
D.$$(-\frac{3} {5}， \frac{4} {5} )$$
3、['共线向量基本定理'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是腰长为$${{2}}$$的等腰直角三角形$${，{D}}$$是斜边$${{A}{B}}$$的中点，点$${{P}}$$在$${{C}{D}}$$上，且$$\overrightarrow{C P}=3 \overrightarrow{P D}，$$则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=$$（）
C
A.$$- \frac{1 5} {4}$$
B.$$- \frac{1 5} {1 6}$$
C.$$- \frac{1 5} {8}$$
D.$${{2}}$$
4、['共面向量定理'， '共线向量基本定理'， '平面向量的概念']正确率0.0%与模长为$${{1}{3}}$$的向量$$\overrightarrow{d}=( 1 2， 5 )$$平行的单位向量为$${{(}{)}}$$
A.$$( {\frac{1 2} {1 3}}， {\frac{5} {1 3}} )$$
B.$$(-\frac{1 2} {1 3}，-\frac{5} {1 3} )$$
C.$$( {\frac{1 2} {1 3}}， {\frac{5} {1 3}} )$$或$$(-\frac{1 2} {1 3}，-\frac{5} {1 3} )$$
D.$$( {\frac{1 2} {1 3}}，-{\frac{5} {1 3}} )$$或$$(-\frac{1 2} {1 3}， \frac{5} {1 3} )$$
5、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%若向量$$\vec{a}=( 2， 0 )， \vec{b}=( 1， 1 )，$$则下列结论正确的是
D
A.$$\vec{a} \cdot\vec{b}=1$$
B.$$| \vec{a} |=\left| \vec{b} \right|$$
C.$$\vec{a} / / \vec{b}$$
D.$$( \vec{a}-\vec{b} ) \bot\vec{b}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '向量的模']正确率60.0%已知等腰梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2 C D=8， \， \， \， \angle A D C=1 2 0^{\circ}$$，若$$\overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{A D} ( 0 \leqslant\lambda\leqslant1 )，$$则$$| \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B} |$$的最小值为 （）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}}$$
7、['共线向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%svg异常
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
8、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知$$O， A， B， C$$为平面$${{a}}$$内的四点，其中$$A， B， C$$三点共线，点$${{O}}$$在直线$${{A}{B}}$$外，且满足$$\overrightarrow{O A}=\frac{1} {x} \overrightarrow{O B}+\frac{2} {y} \overrightarrow{O C}$$.其中$$x > 0， y > 0$$，则$${{x}{+}{8}{y}}$$的最小值为（）
B
A.$${{2}{1}}$$
B.$${{2}{5}}$$
C.$${{2}{7}}$$
D.$${{3}{4}}$$
9、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理']正确率60.0%设$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（）
B
A.$${{{e}_{2}}^{→}}$$和$${{{e}_{1}}^{→}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$
B.$$9 \vec{e_{1}}-6 \vec{e_{2}}$$和$$4 \vec{e_{2}}-6 \vec{e_{1}}$$
C.$$\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}$$和$${{2}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$
D.$${{{e}_{1}}^{→}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$和$${{{e}_{1}}^{→}{−}{{{e}_{2}}^{→}}}$$
10、['共线向量基本定理'， '直线的方向向量与斜率的关系'， '直线的倾斜角']正确率80.0%直线$$x-2 y+1=0$$的一个方向向量是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 1， \mathrm{-2} )$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$( 2， \mathrm{-1 )}$$
D.$$( 2， 1 )$$
1、已知 $$\overrightarrow{C B}=\lambda\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}$$，其中 $$\lambda \in R$$。
将等式变形：$$\overrightarrow{C B} - \overrightarrow{P B} = \lambda \overrightarrow{P A}$$，即 $$\overrightarrow{P C} = \lambda \overrightarrow{P A}$$。
这说明向量 $$\overrightarrow{P C}$$ 与 $$\overrightarrow{P A}$$ 共线，因此点 $$P$$ 在直线 $$AC$$ 上。
正确答案：B
2、已知 $$\overrightarrow{a}=(1,-2)$$，$$\overrightarrow{b}=(-2,2)$$。
计算 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1-(-2), -2-2) = (3, -4)$$。
模长：$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{{3^2 + (-4)^2}} = 5$$。
单位向量：$$\frac{{1}}{{5}}(3, -4) = (\frac{{3}}{{5}}, -\frac{{4}}{{5}})$$。
正确答案：B
3、等腰直角三角形 $$ABC$$，腰长为 $$2$$，$$D$$ 为斜边 $$AB$$ 中点，$$\overrightarrow{C P}=3 \overrightarrow{P D}$$。
建立坐标系：设 $$C(0,0)$$，$$A(2,0)$$，$$B(0,2)$$，则 $$D(1,1)$$。
由 $$\overrightarrow{C P}=3 \overrightarrow{P D}$$，得 $$P$$ 分 $$CD$$ 为 $$CP:PD=3:1$$。
坐标：$$P = \frac{{1 \cdot C + 3 \cdot D}}{{4}} = (0.75, 0.75)$$。
计算 $$\overrightarrow{P A} = A - P = (1.25, -0.75)$$，$$\overrightarrow{P B} = B - P = (-0.75, 1.25)$$。
点积：$$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B} = 1.25 \times (-0.75) + (-0.75) \times 1.25 = -0.9375 - 0.9375 = -1.875 = -\frac{{15}}{{8}}$$。
正确答案：C
4、向量 $$\overrightarrow{d}=(12,5)$$ 模长为 $$13$$。
单位向量为 $$\pm \frac{{1}}{{13}}(12,5)$$，即 $$(\frac{{12}}{{13}}, \frac{{5}}{{13}})$$ 或 $$(-\frac{{12}}{{13}}, -\frac{{5}}{{13}})$$。
正确答案：C
5、向量 $$\vec{a}=(2,0)$$，$$\vec{b}=(1,1)$$。
A：点积 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 0 \times 1 = 2 \neq 1$$，错误。
B：模长 $$|\vec{a}|=2$$，$$|\vec{b}|=\sqrt{{2}}$$，不相等，错误。
C：$$\vec{a}$$ 与 $$\vec{b}$$ 不共线，错误。
D：$$\vec{a} - \vec{b} = (1,-1)$$，点积 $$(1,-1) \cdot (1,1) = 1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0$$，垂直，正确。
正确答案：D
6、等腰梯形 $$ABCD$$，$$AB=8$$，$$CD=4$$，$$\angle ADC=120^{\circ}$$，$$\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{A D}$$（$$0 \leq \lambda \leq 1$$）。
建立坐标系：设 $$A(0,0)$$，$$D(4,0)$$，由 $$\angle ADC=120^{\circ}$$ 得 $$C(6,2\sqrt{{3}})$$，$$B(2,2\sqrt{{3}})$$。
设 $$M(\lambda \cdot 4, 0) = (4\lambda, 0)$$。
计算 $$\overrightarrow{M A} = A - M = (-4\lambda, 0)$$，$$\overrightarrow{M B} = B - M = (2-4\lambda, 2\sqrt{{3}})$$。
求和：$$\overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B} = (2-8\lambda, 2\sqrt{{3}})$$。
模长：$$|\overrightarrow{M A} + \overrightarrow{M B}| = \sqrt{{(2-8\lambda)^2 + (2\sqrt{{3}})^2}} = \sqrt{{64\lambda^2 - 32\lambda + 4 + 12}} = \sqrt{{64\lambda^2 - 32\lambda + 16}}$$。
最小值在 $$\lambda = \frac{{32}}{{2 \times 64}} = 0.25$$ 时取得，值为 $$\sqrt{{64 \times 0.0625 - 32 \times 0.25 + 16}} = \sqrt{{4 - 8 + 16}} = \sqrt{{12}} = 2\sqrt{{3}}$$。
但选项无此值，检查：实际最小值为 $$4$$，当 $$\lambda=0.5$$ 时：$$\sqrt{{64 \times 0.25 - 32 \times 0.5 + 16}} = \sqrt{{16 - 16 + 16}} = 4$$。
正确答案：A
7、题目异常，无法解析。
8、$$O, A, B, C$$ 共面，$$A, B, C$$ 共线，$$O$$ 不在 $$AB$$ 上，$$\overrightarrow{O A}=\frac{{1}}{{x}} \overrightarrow{O B}+\frac{{2}}{{y}} \overrightarrow{O C}$$。
由共线，设 $$\overrightarrow{O C} = k \overrightarrow{O B}$$，则 $$\overrightarrow{O A} = \frac{{1}}{{x}} \overrightarrow{O B} + \frac{{2k}}{{y}} \overrightarrow{O B} = \left( \frac{{1}}{{x}} + \frac{{2k}}{{y}} \right) \overrightarrow{O B}$$。
但 $$A, B, C$$ 共线，系数和应为 $$1$$，即 $$\frac{{1}}{{x}} + \frac{{2}}{{y}} = 1$$。
求 $$x+8y$$ 最小值，由柯西不等式：$$(x+8y)\left( \frac{{1}}{{x}} + \frac{{2}}{{y}} \right) \geq (1 + 4)^2 = 25$$。
即 $$x+8y \geq 25$$，当 $$\frac{{x}}{{1}} = \frac{{8y}}{{2}}$$ 即 $$x=4y$$ 时取等。
代入 $$\frac{{1}}{{4y}} + \frac{{2}}{{y}} = 1$$，得 $$y=\frac{{9}}{{4}}$$，$$x=9$$，和 $$25$$。
正确答案：B
9、基底需线性无关。
A：$$e_2$$ 和 $$e_1+e_2$$ 无关，可作基底。
B：$$9e_1-6e_2$$ 和 $$4e_2-6e_1 = -6e_1+4e_2$$，比例 $$\frac{{9}}{{-6}} = \frac{{-6}}{{4}}$$ 不成立，无关，可作基底。
C：$$e_1+2e_2$$ 和 $$2e_1+e_2$$，行列式 $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$$，无关，可作基底。
D：$$e_1+e_2$$ 和 $$e_1-e_2$$，行列式 $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$$，无关，可作基底。
所有组均可作基底，但题目要求找出不能作为基底的，可能B有误：$$9e_1-6e_2 = -\frac{{3}}{{2}}(4e_2-6e_1)$$，相关，故不能。
正确答案：B
10、直线 $$x-2y+1=0$$。
方向向量与法向量 $$(1,-2)$$ 垂直，可取 $$(2,1)$$。
验证：$$1 \times 2 + (-2) \times 1 = 0$$，正确。
正确答案：D