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正确率60.0%点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，若$$\overrightarrow{C B}=\lambda\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}，$$其中$${{λ}{∈}{R}{，}}$$则点$${{P}}$$一定在（）
B
A.$${{△}{A}{B}{C}}$$内部
B.$${{A}{C}}$$边所在的直线上
C.$${{A}{B}}$$边所在的直线上
D.$${{B}{C}}$$边所在的直线上
2、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$，则$${{P}}$$点轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
3、['向量加法的运算律'， '平面向量的概念']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$不共线，若$$\overrightarrow{A B}=\vec{a} \，+2 \vec{b} \， B \vec{C}=\，-\ \overrightarrow{4 a} \，-\， \vec{b} \， C \vec{D}=\，-\ \overrightarrow{5 a} \，-\， \overrightarrow{3 b} \，，$$则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是（）
A
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
4、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则']正确率60.0%已知空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$，连接$$A C， ~ B D$$，则$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}$$为（）
A
A.$$\overrightarrow{A D}$$
B.$$\overrightarrow{B D}$$
C.$$\overrightarrow{A C}$$
D.$${{0}^{→}}$$
6、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量的概念'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%设平面向量$$\vec{a_{1}}， ~ \vec{a_{2}}， ~ \vec{a_{3}}$$的和$$\overrightarrow{a_{1}}+\overrightarrow{a_{2}}+\overrightarrow{a_{3}}=0.$$如果平面向量$$\vec{b_{1}}， ~ \vec{b_{2}}， ~ \vec{b_{3}}$$满足$$| \vec{b_{i}} |=2 | \vec{a_{i}} |$$，且$${{{a}_{i}}^{→}}$$顺时针旋转$${{3}{0}^{o}}$$后与$${{{b}_{i}}^{→}}$$同向，其中$$i=1， ~ 2， ~ 3$$，那么（）
D
A.$$- \vec{b_{1}}+\vec{b_{2}}+\vec{b_{3}}=0$$
B.$$\vec{b_{1}}-\vec{b_{2}}-\vec{b_{3}}=0$$
C.$$\vec{b_{1}}+\vec{b_{2}}-\vec{b_{3}}=0$$
D.$$\vec{b_{1}}+\vec{b_{2}}+\vec{b_{3}}=0$$
7、['向量加法的运算律'， '共线向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e_{1}}-2 \boldsymbol{e_{2}}， \， \， \， \boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{e_{1}}+\boldsymbol{e_{2}}，$$$$\boldsymbol{c}=-6 \boldsymbol{e_{1}}+2 \boldsymbol{e_{2}}，$$其中$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$不共线，则$${{a}{+}{b}}$$与$${{c}}$$的关系为（）
B
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
8、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '平面向量的概念']正确率60.0%化简$$\overrightarrow{P M}-\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{M N}$$所得的结果是（）
C
A.$$\overrightarrow{M P}$$
B.$$\overrightarrow{N P}$$
C.$${{0}}$$
D.$$\overrightarrow{M N}$$
10、['向量加法的运算律'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%在$$- A B C D$$中，$$A B=2， ~ ~ A D=1$$，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E D}$$.若$$\overrightarrow{E A}_{\perp} \overrightarrow{E B}$$，则$$\operatorname{c o s} \angle B A D$$的值为
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$- \frac{1} {6}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac2 3$$
1. 已知 $$\overrightarrow{C B} = \lambda \overrightarrow{P A} + \overrightarrow{P B}$$，其中 $$\lambda \in R$$。
将向量关系改写为 $$\overrightarrow{C B} - \overrightarrow{P B} = \lambda \overrightarrow{P A}$$，即 $$\overrightarrow{P C} = \lambda \overrightarrow{P A}$$。
这表明 $$\overrightarrow{P C}$$ 与 $$\overrightarrow{P A}$$ 共线，因此点 $$P$$ 在直线 $$AC$$ 上。
答案：B. $$AC$$ 边所在的直线上
2. 已知 $$\overrightarrow{C A}^2 = \overrightarrow{C B}^2 - 2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C P}$$。
整理得 $$\overrightarrow{C A}^2 - \overrightarrow{C B}^2 = -2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C P}$$。
左边用平方差公式：$$(\overrightarrow{C A} - \overrightarrow{C B}) \cdot (\overrightarrow{C A} + \overrightarrow{C B}) = -2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C P}$$。
注意 $$\overrightarrow{C A} - \overrightarrow{C B} = \overrightarrow{B A}$$，且 $$\overrightarrow{C A} + \overrightarrow{C B} = 2 \overrightarrow{C M}$$，其中 $$M$$ 为 $$AB$$ 中点。
代入得 $$\overrightarrow{B A} \cdot 2 \overrightarrow{C M} = -2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C P}$$，即 $$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C M} = \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C P}$$。
因此 $$\overrightarrow{A B} \cdot (\overrightarrow{C P} - \overrightarrow{C M}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{M P} = 0$$。
故 $$MP \perp AB$$，点 $$P$$ 在过 $$M$$ 且垂直于 $$AB$$ 的直线上，该直线通过重心。
答案：A. 重心
3. 已知 $$\overrightarrow{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$$，$$\overrightarrow{B C} = -4 \vec{a} - \vec{b}$$，$$\overrightarrow{C D} = -5 \vec{a} - 3 \vec{b}$$。
计算 $$\overrightarrow{A D} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D} = (\vec{a} + 2 \vec{b}) + (-4 \vec{a} - \vec{b}) + (-5 \vec{a} - 3 \vec{b}) = -8 \vec{a} - 2 \vec{b}$$。
注意 $$\overrightarrow{B C} = -4 \vec{a} - \vec{b}$$，而 $$\overrightarrow{A D} = 2 \overrightarrow{B C}$$，因此 $$AD \parallel BC$$ 且 $$|AD| = 2|BC|$$。
又 $$\overrightarrow{A B}$$ 与 $$\overrightarrow{C D}$$ 不共线，故为梯形。
答案：A. 梯形
4. 计算 $$\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A D}$$。
答案：A. $$\overrightarrow{A D}$$
6. 已知 $$\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} = 0$$，且 $$\vec{b_i}$$ 由 $$\vec{a_i}$$ 顺时针旋转 $$30^\circ$$ 并模长加倍得到，即 $$\vec{b_i} = 2 R(-\theta) \vec{a_i}$$，其中 $$\theta = 30^\circ$$。
由于旋转是线性操作，有 $$\vec{b_1} + \vec{b_2} + \vec{b_3} = 2 R(-\theta) (\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3}) = 0$$。
答案：D. $$\vec{b_1} + \vec{b_2} + \vec{b_3} = 0$$
7. 已知 $$\vec{a} = \vec{e_1} - 2 \vec{e_2}$$，$$\vec{b} = 2 \vec{e_1} + \vec{e_2}$$，$$\vec{c} = -6 \vec{e_1} + 2 \vec{e_2}$$。
计算 $$\vec{a} + \vec{b} = (\vec{e_1} - 2 \vec{e_2}) + (2 \vec{e_1} + \vec{e_2}) = 3 \vec{e_1} - \vec{e_2}$$。
注意 $$\vec{c} = -6 \vec{e_1} + 2 \vec{e_2} = -2 (3 \vec{e_1} - \vec{e_2}) = -2 (\vec{a} + \vec{b})$$。
故 $$\vec{a} + \vec{b}$$ 与 $$\vec{c}$$ 共线。
答案：B. 共线
8. 化简 $$\overrightarrow{P M} - \overrightarrow{P N} + \overrightarrow{M N}$$。
注意 $$\overrightarrow{P M} - \overrightarrow{P N} = \overrightarrow{N M}$$，因此原式 $$= \overrightarrow{N M} + \overrightarrow{M N} = \overrightarrow{0}$$。
答案：C. $$0$$
10. 在平行四边形 $$ABCD$$ 中，$$AB=2$$，$$AD=1$$，点 $$E$$ 满足 $$\overrightarrow{C E} = 2 \overrightarrow{E D}$$，且 $$\overrightarrow{E A} \perp \overrightarrow{E B}$$，求 $$\cos \angle B A D$$。
设 $$A$$ 为原点，$$\overrightarrow{A B} = \vec{u}$$，$$\overrightarrow{A D} = \vec{v}$$，则 $$|\vec{u}|=2$$，$$|\vec{v}|=1$$。
点 $$E$$ 在 $$CD$$ 上，$$\overrightarrow{C E} = 2 \overrightarrow{E D}$$，故 $$E$$ 分 $$CD$$ 为 $$2:1$$。
坐标：$$C = B + D = \vec{u} + \vec{v}$$，$$D = \vec{v}$$，因此 $$E = C + \frac{2}{3} \overrightarrow{C D} = (\vec{u} + \vec{v}) + \frac{2}{3} (\vec{v} - (\vec{u} + \vec{v})) = \vec{u} + \vec{v} - \frac{2}{3} \vec{u} = \frac{1}{3} \vec{u} + \vec{v}$$。
则 $$\overrightarrow{E A} = A - E = -\frac{1}{3} \vec{u} - \vec{v}$$，$$\overrightarrow{E B} = B - E = \vec{u} - (\frac{1}{3} \vec{u} + \vec{v}) = \frac{2}{3} \vec{u} - \vec{v}$$。
已知 $$\overrightarrow{E A} \perp \overrightarrow{E B}$$，故点积为 0：$$(-\frac{1}{3} \vec{u} - \vec{v}) \cdot (\frac{2}{3} \vec{u} - \vec{v}) = 0$$。
展开：$$-\frac{2}{9} |\vec{u}|^2 + \frac{1}{3} \vec{u} \cdot \vec{v} - \frac{2}{3} \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 = -\frac{2}{9} \times 4 + (-\frac{1}{3} \vec{u} \cdot \vec{v}) + 1 = -\frac{8}{9} - \frac{1}{3} \vec{u} \cdot \vec{v} + 1 = 0$$。
整理：$$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$，即 $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{3}$$。
故 $$\cos \angle B A D = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{1/3}{2 \times 1} = \frac{1}{6}$$。
答案：A. $$\frac{1}{6}$$